Question

如圖，某劇場舞臺(tái)頂部橫剖面拱形可近似地看做拋物線的一部分，其中舞臺(tái)高度為1.15m，臺(tái)口高度為13.5m，臺(tái)口寬度為29m．以ED所在的直線為x軸，過拱頂A且垂直于ED的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求拱形拋物線的函數(shù)解析式；
（2）舞臺(tái)大幕懸掛在長為20m的橫梁MN上，其下沿恰與舞臺(tái)面接觸，求大幕的高度（精確到0.01m）．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）根據(jù)拋物線在坐標(biāo)系的特殊位置，對稱軸是y軸時(shí)可設(shè)拋物線的關(guān)系式為y=ax²+c，由已知數(shù)據(jù)可確定頂點(diǎn)A坐標(biāo)及點(diǎn)C坐標(biāo)，可求拋物線解析式．
（2）已知MN的長度，就知道M，N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入拋物線解析式，求縱坐標(biāo)，即為大幕的高度．

解答：解：（1）由題設(shè)可知，
OA=13.5+1.15=14.65米，OD=

29

2

米．
∴A（0，14.65），C（

29

2

，1.15）．
設(shè)拱形拋物線的關(guān)系式為y=ax²+c，
則

c=14.65 a×( 29 2 )2+c=1.15

，
解得a=-

54

841

，c=14.65．
所以，所求函數(shù)的關(guān)系式為
y=-

54

841

x²+14.65．

（2）由MN=20米，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（10，y₀），代入關(guān)系式，
得y₀=-

54

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×10²+14.65≈8.229．
∴y₀-1.15=8.229-1.15=7.079≈7.08．
即大幕的高度約為7.08米．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題．