Question

2．如圖所示，山坡上有一棵與水平面垂直的大樹，一場臺風過后，大樹被刮傾斜后折斷倒在山坡上，樹的頂部恰好接觸到坡面．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得樹干傾斜角∠BAC=38°，大樹被折斷部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=8m．
（1）求∠CAE的度數(shù)；
（2）求這棵大樹折斷前的高度？
（結(jié)果精確到個位，參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{2}$=1.4，$\sqrt{3}$=1.7，$\sqrt{6}$=2.4）．

Answer 1

分析 （1）延長BA交EF于點G．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠CAE的度數(shù)；
（2）過點A作AE⊥CD，根據(jù)余弦和正弦的概念分別求出DH和AH的長，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計算即可．

解答 解：（1）延長BA交EF于點G．
在Rt△AGE中，∠E=23°，
∴∠GAE=67°，
又∵∠BAC=38°，
∴∠CAE=180°-67°-38°=75°．
（2）過點A作AE⊥CD，垂足為H．
在△ADH中，∠ADC=60°，AD=8，
cos∠ADC=$\frac{DH}{AD}$，
∴DH=4，
sin∠ADC=$\frac{AH}{AD}$，
∴$AH=4\sqrt{3}$．
在Rt△ACH中，∠C=180°-75°-60°=45°，
∴$CH=AH=4\sqrt{3}$，$AC=4\sqrt{6}$．
∴$AB=AC+CD=4\sqrt{6}+4\sqrt{3}+4≈20$（米）．
答：這棵大樹折斷前高約20米．

點評 本題考查的是解直角三角形的應用-坡度坡角問題，正確標注坡角、傾斜角、靈活運用銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵，注意特殊角的三角函數(shù)值的應用．