Question

如圖，已知AB、AC分別為⊙O的直徑和弦，D為弧BC的中點(diǎn)，DE垂直于AC，交AC的延長線于E，連接BC，若DE=6cm，CE=2cm，下列結(jié)論正確的是（　　）
①DE是⊙O的切線；②直徑AB長為20cm；③弦AC長為15cm；④C為弧AD的中點(diǎn)．

• A、①②④
• B、①③④
• C、①②
• D、②③

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：連接OD，交BC于點(diǎn)F，可證明DE∥BC，可判斷①；在△OCF中，由垂徑定理結(jié)合勾股定理可求得圓的半徑，可判斷②；由垂徑定理可求得BC的長，結(jié)合②可判斷③；由弧相等可得弦相等可判斷④；可得出答案．

解答：解：如圖，連接OD，交BC于點(diǎn)F，連接OC，
∵D為弧BC的中點(diǎn)，
∴OD⊥BC，且CF=BF，
又∵AB為⊙O的直徑，DE⊥AE，
∴∠BCE=∠DEC=∠CFD=90°，
∴四邊形CEDF為矩形，
∴OD⊥DE，
∴DE為⊙O的切線，
故①正確；
∴DF=CE=2cm，CF=DE=6cm，
∴BC=2CF=12cm，
設(shè)半徑為rcm，則OF=（r-2）cm，
在Rt△OCF中，由勾股定理可得OC²=OF²+CF²，即r²=（r-2）²+6²，解得r=10cm，
∴AB=20cm，
故②正確；
在Rt△ABC中，BC=12cm，AB=20cm，
∴AC=

AB2-BC2

=

202-122

=16（cm），
故③不正確；
若C為弧AD的中點(diǎn)，則AC=CD，
在Rt△CDE中，CE=2cm，DE=6cm，由勾股定理可求得CD=2

10

cm≠AC，
故④不正確；
綜上可知正確的為①②，
故選C．

點(diǎn)評：本題主要考查切線的判定、垂徑定理等知識的綜合應(yīng)用，從D為弧BC的中點(diǎn)為突破口，結(jié)合垂徑定理、勾股定理求得半徑是解題的關(guān)鍵．