Question

3．問題背景
已知在△ABC中，AB邊上的動點D由A向B運動（與A、B不重合），點E與點D同時出發(fā)，由點C沿BC的延長線方向運動（E不與C重合），連接DE交AC于點F，點H是線段AF上一點．
（1）初步嘗試
如圖1，若△ABC是等邊三角形，DH⊥AC，且點D，E的運動速度相等．求證：HF=AH+CF．
小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以由以下兩種思路解決問題：
思路一：過點D作DG∥BC，交AC于點G，先證GH=AH，再證GF=CF，從而證得結(jié)論成立；
思路二：過點E作EM⊥AC，交AC的延長線于點M，先證CM=AH，再證HF=MF，從而證得結(jié)論成立．
請你任選一種思路，完整地書寫本小題的證明過程（如用兩種方法作答，則以第一種方法評分）；
（2）類比探究
如圖2，若在△ABC中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且點D，E的運動速度之比是$\sqrt{3}$：1，求$\frac{AC}{HF}$的值；
（3）延伸拓展
如圖3，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，記$\frac{BC}{AB}$=m，且點D，E的運動速度相等，試用含m的代數(shù)式表示$\frac{AC}{HF}$（直接寫出結(jié)果，不必寫解答過程）．

Answer 1

分析 （1）過點D作DG∥BC，交AC于點G，先證明△ADG是等邊三角形，得出GD=AD=CE，再證明GH=AH，由ASA證明△GDF≌△CEF，得出GF=CF，即可得出結(jié)論；
（2）過點D作DG∥BC，交AC于點G，先證出AH=GH=GD，AD=$\sqrt{3}$GD，由題意AD=$\sqrt{3}$CE，得出GD=CE，再證明△GDF≌△CEF，得出GF=CF，即可得出結(jié)論；
（3）過點D作DG∥BC，交AC于點G，先證出 DG=DH=AH，再證明△ADG∽△ABC，△ADG∽△DGH，△DGH∽△ABC，得出 $\frac{DG}{AD}$=$\frac{BC}{AB}$=m，$\frac{GF}{CF}$=$\frac{DG}{CE}$=$\frac{DG}{AD}$=m，△DGH∽△ABC，得出 $\frac{GH}{DG}$=$\frac{BC}{AB}$=m，$\frac{GH}{AH}$=m，證明△DFG∽△EFC，得出 $\frac{GF}{FC}$=$\frac{DG}{CE}$=m，$\frac{GH+GF}{AH+FC}$=m，$\frac{AH+FC}{HF}$=$\frac{1}{m}$，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明（選擇思路一）：過點D作DG∥BC，交AC于點G，如圖1所示：
則∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，
∴∠ADG=∠AGD=∠A，
∴△ADG是等邊三角形，
∴GD=AD=CE，
∵DH⊥AC，
∴GH=AH，
∵DG∥BC，
∴∠GDF=∠CEF，∠DGF=∠ECF，
在△GDF和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GDF=∠CEF}\\{GD=CE}\\{∠DGF=∠ECF}\end{array}\right.$，
∴△GDF≌△CEF（ASA），
∴GF=CF，
∴GH+GF=AH+CF，
即HF=AH+CF；
（2）解：過點D作DG∥BC，交AC于點G，如圖2所示：
則∠ADG=∠B=90°，
∵∠BAC=∠ADH=30°，
∴∠HGD=∠HDG=60°，
∴AH=GH=GD，AD=$\sqrt{3}$GD，
根據(jù)題意得：AD=$\sqrt{3}$CE，
∴GD=CE，
∵DG∥BC，
∴∠GDF=∠CEF，∠DGF=∠ECF，
在△GDF和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GDF=∠CEF}\\{GD=CE}\\{∠DGF=∠ECF}\end{array}\right.$，
∴△GDF≌△CEF（ASA），
∴GF=CF，
∴GH+GF=AH+CF，
即HF=AH+CF，
∴$\frac{AC}{HF}$=2；
（3）解：$\frac{AC}{HF}$=$\frac{m+1}{m}$，理由如下：
過點D作DG∥BC，交AC于點G，如圖3所示：
則∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，AD=EC，
∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ACB=∠B=∠ADG=∠AGD=72°，
∵∠ADH=∠BAC=36°，
∴AH=GH，∠DHG=72°=∠AGD，
∴DG=DH=AH，△ADG∽△ABC，△ADG∽△DGH，
∴$\frac{DG}{AD}$=$\frac{BC}{AB}$=m，$\frac{GF}{CF}$=$\frac{DG}{CE}$=$\frac{DG}{AD}$=m，
∴△DGH∽△ABC，
∴$\frac{GH}{DG}$=$\frac{BC}{AB}$=m，
∴$\frac{GH}{AH}$=m，
∵DG∥BC，
∴△DFG∽△EFC，
∴$\frac{GF}{FC}$=$\frac{DG}{CE}$=m，
∴$\frac{GH+GF}{AH+FC}$=m，
即 $\frac{HF}{AH+FC}$=m，
∴$\frac{AH+FC}{HF}$=$\frac{1}{m}$，
∴$\frac{AC}{HF}$=$\frac{AH+FC+HF}{HF}$=$\frac{1}{m}$+1=$\frac{m+1}{m}$．

點評 本題是相似形綜合題目，考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，本題難度較大，綜合性強，特別是（2）（3）中，需要通過作輔助線證明三角形全等或三角形相似才能得出結(jié)果．