Question

4．設拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+mx+n與x軸交于兩個不同的點A（-1，0）、B（4，0）．
（1）求拋物線的解析式．
（2）已知點C（2，k ）在拋物線上，過點A的直線y=x+1交拋物線于另一點E．
①填空：k=-3，點E的坐標為（6，7）．
②在x軸上是否存在點P，使得以點P、A、C為頂點的三角形與△AEB相似，若存在，求點P的坐標；不存在，說明理由．
③若在拋物線上存在一點M，在y軸上存在點N，使得以點A、E、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出所有點N的坐標（0，5），（0，4）（0，40）．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0）、B（4，0）代入y=$\frac{1}{2}$x²+mx+n解方程組即可．
（2）①利用待定系數(shù)法，解方程組即可解決問題．
②首先證明∠EAB=∠CAB=45°，列出方程即可解決問題．
③分兩種情形a、當AE為邊時，AE=M₁N₁=7$\sqrt{2}$，推出M₁（7，12），N₁（0，5）．或M₃N₃=AE=7$\sqrt{2}$．推出M₃（-7，33），N₃（0，40）．b、AE為對角線時，M₂（5，3），得出N₂（0，4）．

解答 解：（1）把A（-1，0）、B（4，0）代入y=$\frac{1}{2}$x²+mx+n得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}-m+n=0}\\{8+4m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{3}{2}}\\{n=-2}\end{array}\right.$
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2．

（2）①x=2時，y=2-3-2=-3，
∴k=-3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=7}\end{array}\right.$，
∴E（6，7）
故答案為-3，6，7．

②如圖1中，過E作ED⊥X軸于點 D．

∵A（-1，0），E（6，7），
∴AD=ED=7，
∴∠EAD=45°，
同理∠CAB=45°
若△PAC與△AEB相似
則$\frac{AE}{AB}$=$\frac{PA}{AC}$或$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AC}{PA}$，
解得PA=$\frac{42}{5}$或PA=$\frac{45}{7}$，
∴P（$\frac{37}{5}$，0）或P（$\frac{8}{7}$，0）．

③如圖2中，

a、當AE為邊時，AE=M₁N₁=7$\sqrt{2}$，
∴M₁（7，12），N₁（0，5）．
或M₃N₃=AE=7$\sqrt{2}$．
∴M₃（-7，33），N₃（0，40）．
b、AE為對角線時，M₂（5，3），
∴N₂（0，4）．
綜上所述，滿足條件的點N坐標為（0，5），（0，4）（0，40 ）．
故答案為（0，5），（0，4）（0，40 ）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質、平行四邊形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會分類討論，注意不能漏解，屬于中考壓軸題．