Question

拋物線y=ax²+bx+3與x軸相交于點A（-3，0），B（-1，0），與y軸相交于點C，⊙O₁為△ABC的外接圓，交拋物線于另一點D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求⊙O₁的半徑；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P使PB+PC最��？若存在，請寫出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）如圖所示，由圓周角定理，確定△BO₁C為等腰直角三角形，從而求出半徑的長度；
（3）根據(jù)拋物線的解析式可確定C點坐標為（0，3），再利用待定系數(shù)法確定直線AC的關(guān)系式為y=x+3，由于使得PB+PC的值最小的點P為直線AC與對稱軸的交點，把x=-2代入y=x+3即可確定P點坐標．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3與x軸相交于點A（-3，0），B（-1，0），
∴

9a-3b+3=0 a-b+3=0

，
解得a=1，b=4．
∴拋物線的解析式為：y=x²+4x+3；

（2）由（1）知，拋物線解析式為y=x²+4x+3，
∵令x=0，得y=3，
∴C（0，3），
∴OC=OA=3，則△AOC為等腰直角三角形，∠BAC=45°
如圖所示，連接O₁B、O₁B，則∠BO₁C=2∠BAC=90°．
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=

12+32

=

10

，
在等腰Rt△BO₁C中，⊙O₁的半徑O₁B=BCsin45°=

10

×

2

2

=

5

；

（3）作拋物線的對稱軸l，交AC于P，則P點即為所求．
（∵B點關(guān)于l的對稱點是A，∴P點即是在l上使PB+PC最小的點．該理由不寫亦可）
∵P點在對稱軸l上，
∴P點的橫坐標為-

4

2

=-2．
設(shè)直線AC的函數(shù)表達式為y=kx+t（k≠0）．
∵由A（-3，0），C（0，3），
∴

-3k+t=0 t=3

，
解得

k=1 t=3

．
∴直線AC的函數(shù)表達式為y=x+3．
將x=-2代入y=x+3，得y=1．
∴P點的坐標為（-2，1）．

點評：本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、圓的性質(zhì)等重要知識點，涉及的考點較多，試題難度較大．（3）題的關(guān)鍵點是確定點P的位置．