Question

11．在正方形ABCD中，P、Q分別為BC、CD上的點(diǎn)，且∠BAP=25°，∠DAQ=20°，求∠AQP的度數(shù)．

Answer 1

分析 先根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=AD，∠BAD=∠ABC=90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義，把△ADQ繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°可得到△ABG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AG=AQ，BG=DQ，∠GAQ=90°，∠ABG=∠ABC=90°，于是可判斷點(diǎn)G在CB的延長線上，接著利用“SAS”證明△PAG≌△PAQ，得出∠AGP=∠AQP，由三角形內(nèi)角和定理求出∠AGP即可得出結(jié)果．

解答 解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠ABC=90°，
∵∠BAP=25°，∠DAQ=20°，
∴∠PAQ=90°-25°-20°=45°，
∴把△ADQ繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°可得到△ABG，如圖所示，
∴AG=AQ，BG=DQ，∠GAQ=90°，∠ABG=∠ABC=90°，
∴點(diǎn)G在CB的延長線上，
∵∠PAQ=45°，
∴∠PAG=∠GAQ-∠PAQ=45°，
∴∠PAG=∠PAQ，
在△PAG和△PAQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AP}&{\;}\\{∠PAG=∠PAQ}&{\;}\\{AG=AQ}&{\;}\end{array}\right.$
∴△PAG≌△PAQ（SAS），
∴∠AGP=∠AQP，
∵∠APB=90°-25°=65°，
∴∠AGP=180°-45°-65°=70°，
∴∠AQP=70°．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和正方形的性質(zhì)；證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．