Question

10．如圖．雙曲線y=$\frac{k}{x}$與直線y=x-2相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1．
（1）①直接寫出B點(diǎn)坐標(biāo)：（-1，-3）
    ②雙曲線上有兩點(diǎn)C、D（A、D在雙曲線的同-支上），使四邊形ABCD為平行四邊形，則C（-3，-1），D（1，3）（直接寫出結(jié)果）
（2）直接寫出關(guān)于x的不等式：x-2-$\frac{k}{x}$＜0的解集．

Answer 1

分析 （1）由A點(diǎn)在直線上且縱坐標(biāo)為1可得其坐標(biāo)，根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)可得雙曲線解析式，由直線及雙曲線解析式聯(lián)立方程組，解方程組可得兩交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)雙曲線的中心對稱性可知，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)即為點(diǎn)D、點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)即為點(diǎn)C，此時(shí)C、D均在雙曲線上且AC、BD互相平分，即四邊形ABCD是平行四邊形，據(jù)此可得點(diǎn)C、D的坐標(biāo)；
（3）結(jié)合圖象，不等式x-2-$\frac{k}{x}$＜0的解就是對相同的x的值，反比例函數(shù)的圖象在上邊的部分，對應(yīng)的x的范圍．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1，
∴將y=1代入y=x-2，得：1=x-2，解得：x=3，
則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，1），
將點(diǎn)A（3，1）代入y=$\frac{k}{x}$，得：k=3，
∴雙曲線解析式為：y=$\frac{3}{x}$，
根據(jù)題意，$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，-3）；

（2）∵點(diǎn)A（3，1）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)（-3，-1）也在雙曲線上，
點(diǎn)B（-1，-3）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)（1，3）在雙曲線上，
∴當(dāng)點(diǎn)C坐標(biāo)為（-3，-1）、點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，3）時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形；

（3）觀察圖象可知，當(dāng)x＜-1或0＜x＜3時(shí)，x-2-$\frac{k}{x}$＜0．
故答案為：（1）-1，-3；（2）-3，-1；1，3．

點(diǎn)評 本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，聯(lián)立兩直線解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)的方法，求一次函數(shù)與一元一次不等式關(guān)鍵在于準(zhǔn)確識圖，確定出兩函數(shù)圖象的對應(yīng)的函數(shù)值的大小．