Question

1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-1），點(diǎn)C（m，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）如圖1，△AOB和△BCD都是等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)C在x軸上運(yùn)動(dòng)到如圖所示位置時(shí)，連接AD，請(qǐng)證明△ABD≌△OBC；
（2）如圖2，△ABO和△ACD都是等腰直角三角形，當(dāng)點(diǎn)C在x軸上運(yùn)動(dòng)（m＞1）時(shí)，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），請(qǐng)?zhí)角髖與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如圖3，四邊形ACEF是正方形，當(dāng)點(diǎn)C在x軸上運(yùn)動(dòng)（m＞1）時(shí)，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，y），請(qǐng)?zhí)角髖與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質(zhì)得到AB=OB，BD=BC，∠ABO=∠DBC=60°，從而判斷出∠ABD=∠OBC即可；
（2））由△ABO和△ACD都是等腰直角三角形，得出$\frac{AO}{AB}=\frac{AD}{AC}$，從而得到三角形相似，即可；
（3）由DG∥EH，得到$\frac{AD}{AE}=\frac{AG}{AH}$=$\frac{DG}{EF}$，再利用正方形的性質(zhì)即可．

解答 解：（1）∵△AOB和△BCD都是等邊三角形，
∴AB=OB，BD=BC，∠ABO=∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠OBC，
在△ABD和△OBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=OB}\\{∠ABD=∠OBC}\\{BD=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABD和△OBC，
（2）∵△ABO和△ACD都是等腰直角三角形，
∴$\frac{AO}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
∵∠OAD=∠BAC，
∴△AOD∽△ABC，
∴∠AOD=∠ABC=135°為定值，
∴y與x之間的關(guān)系是y=x，
（3）如圖，

連接AE，CF交于點(diǎn)D，設(shè)D（a，a），過點(diǎn)D作DG⊥y軸，過點(diǎn)E作EH⊥y軸于H，
∴DG∥EH，
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{AG}{AH}$=$\frac{DG}{EF}$，
∵點(diǎn)D是正方形ACEF的對(duì)角線交點(diǎn)，
∴AD=ED=$\frac{1}{2}$AE，
∴AG=a+1，AH=2a+2，DG=a，EH=2a，
∴OH=2a+1，
∴y=2a+1，x=2a，
∴y=x+1．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的相似和全等的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是判定三角形相似．