Question

18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（5，0），B（3，2），點(diǎn)C在線段OA上，BC=BA，點(diǎn)Q是線段BC上一個動點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，3），直線PQ的解析式為y=kx+b（k≠0），且與x軸交于點(diǎn)D．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及b的值；
（2）求k的取值范圍；
（3）當(dāng)k為取值范圍內(nèi)的最大整數(shù)時，過點(diǎn)B作BE∥x軸，交PQ于點(diǎn)E，若拋物線y=ax²-5ax（a≠0）的頂點(diǎn)在四邊形ABED的內(nèi)部，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)求出b的值，再根據(jù)對稱性結(jié)合點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）然后利用待定系數(shù)法求出BC的解析式，聯(lián)立直線BC與PQ的解析式，根據(jù)x的值在1到3之間列出不等式求解即可；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求出k值，再根據(jù)拋物線的對稱軸x=-$\frac{2a}$求出對稱軸解析式，然后求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再求出直線PQ與對稱軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)頂點(diǎn)在四邊形ABED的內(nèi)部列式求解即可．

解答 解：（1）作BM⊥AC于M，
∵A（5，0），B（3，2），
∴OA=5，BM=2，OM=3，
∴AM=5-3=2，
∵BC=BA，
∴CM=AM=2，
∴OC=1，
∴C（1，0），
∵直線y=kx+b（k≠0）經(jīng)過點(diǎn)P（0，3），
∴b=3．
（2）∵B（3，2），C（1，0），
∴BC的解析式是y=x-1（1≤x≤3），
∵直線PQ的解析式為y=kx+b（k≠0），P（0，3），
∴直線PQ的解析式為y=kx+3（k≠0），
依題意，得$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=kx+3}\end{array}\right.$，
∴x=$\frac{4}{1-k}$，
∴1≤$\frac{4}{1-k}$≤3，
解得-3≤k≤-$\frac{1}{3}$；
（3）∵-3≤k≤-$\frac{1}{3}$，且k為最大整數(shù)，
∴k=-1，
則直線PQ的解析式為y=-x+3，
又∵x=-$\frac{2a}$=-$\frac{-5a}{2×a}$=$\frac{5}{2}$，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=$\frac{-（-5a）^{2}}{4a}$=-$\frac{25}{4}$a，
∴拋物線y=ax²-5ax的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（$\frac{5}{2}$，-$\frac{25}{4}$a），
對稱軸為x=$\frac{5}{2}$，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{x=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
即直線PQ與對稱軸為x=$\frac{5}{2}$的交點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴$\frac{1}{2}$＜-$\frac{25}{4}$a＜2，
解得-$\frac{8}{25}$＜a＜-$\frac{2}{25}$．

點(diǎn)評 本題是對二次函數(shù)的綜合考查，待定系數(shù)法求直線的解析式，兩直線交點(diǎn)的求解方法，不等式組的求解，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，頂點(diǎn)坐標(biāo)，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，仔細(xì)分析便不難求解．