Question

13．在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90°，BD為斜邊AC上的中線，將△ABD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）得到△EFD，其中點A的對應點為點E，點B的對應點為點F．BE與FC相交于點H．
（1）如圖1，直接寫出BE與FC的數(shù)量關系：BE=FC；
（2）如圖2，M、N分別為EF、BC的中點．求證：MN=$\frac{\sqrt{2}}{2}FC$；
（3）連接BF，CE，如圖3，直接寫出在此旋轉(zhuǎn)過程中，線段BF、CE與AC之間的數(shù)量關系：BF²+CE²=AC²．

Answer 1

分析 （1）首先判斷出BD=AD=CD，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，判斷出ED=FD，∠BDE=∠CDF；最后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△BED≌△CFD，即可判斷出BE=FC．
（2）首先連接BF，取BF中點G，連接MG、NG，判斷出BE⊥CF；然后根據(jù)M為EF中點，G為BF中點，N為BC中點，判斷出MG∥BE，MG=$\frac{1}{2}BE$，NG∥FC，NG=$\frac{1}{2}FC$；最后根據(jù)BE=FC，BE⊥FC，判斷出MG=NG，∠MGN=90°，即△MGN為等腰直角三角形，即可判斷出MN=$\frac{\sqrt{2}}{2}FC$．
（3）首先根據(jù)BE⊥FC，可得BF²+CE²=EF²+BC²=BH²+CH²+EH²+FH²；然后根據(jù)EF=AB，可得BF²+CE²=AB²+BC²=AC²，據(jù)此判斷即可．

解答 （1）解：∵AB=BC=2，∠ABC=90°，BD為斜邊AC上的中線，
∴BD=AD=CD，
又∵ED=AD，F(xiàn)D=BD，
∴ED=FD，
∵∠BDE=∠FDE+∠α=90°+∠α，
∠CDF=∠CDB+∠α=90°+∠α，
∴∠BDE=∠CDF，
在△BED和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{ED=FD}\\{∠BDE=∠CDF}\\{BD=CD}\end{array}\right.$
∴△BED≌△CFD，
∴BE=FC．

（2）證明：如圖2，連接BF，取BF中點G，連接MG、NG，
，
∵△BED≌△CFD，
∴∠1=∠2，
又∵∠3=∠4，
∴∠FHE=∠FDE=90°，
∴BE⊥CF，
∵M為EF中點，G為BF中點，
∴MG∥BE，MG=$\frac{1}{2}BE$，
∵G為BF中點，N為BC中點，
∴NG∥FC，NG=$\frac{1}{2}FC$，
又∵BE=FC，BE⊥FC，
∴MG=NG，∠MGN=90°，
∴△MGN為等腰直角三角形，
∴MN=$\sqrt{2}NG=\sqrt{2}×\frac{1}{2}FC=\frac{\sqrt{2}}{2}FC$．

（3）解：由（2），可得BE⊥FC，
∴BF²=BH²+FH²，
CE²=CH²+EH²，
EF²=EH²+FH²，
BC²=BH²+CH²，
∴BF²+CE²=EF²+BC²=BH²+CH²+EH²+FH²，
∵EF=AB，
∴BF²+CE²=AB²+BC²=AC²，
∴BF²+CE²=AC²．
故答案為：BE=FC、BF²+CE²=AC²．

點評 （1）此題主要考查了幾何變換綜合題，考查了分析推理能力，考查了空間想象能力，考查了數(shù)形結合方法的應用，要熟練掌握．
（2）此題還考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應用，要熟練掌握．
（3）此題還考查了直角三角形的性質(zhì)和應用，以及勾股定理的應用，要熟練掌握．
（4）此題還考查了三角形中位線定理的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．