Question

18．已知反比例函數(shù)y₁=$\frac{k}{x}$的圖象與一次函數(shù)y₂=ax+b的圖象交于點A（1，4）和點B（m，-2）
（1）求這兩個函數(shù)的表達式；
（2）觀察圖象，當x＞0時，直接寫出y₁＞y₂時自變量x的取值范圍；
（3）如果點C與點A關于x軸對稱，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由A在反比例函數(shù)圖象上，把A的坐標代入反比例解析式，確定出k的值，從而得出反比例函數(shù)解析式，又B也在反比例函數(shù)圖象上，把B的坐標代入確定出的反比例解析式即可確定出m的值，從而得到B的坐標，由A和B都在一次函數(shù)圖象上，故把A和B都代入到一次函數(shù)解析式中，得到關于a與b的方程組，求出方程組的解得到a與b的值，從而確定出一次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)圖象結(jié)合交點坐標即可求得；
（3）由點C與點A關于x軸對稱可得AC，AC邊上的高為A，B兩點橫坐標絕對值的和，代入三角形的面積公式即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象過點A（1，4），即4=$\frac{k}{1}$，∴k=4，即y₁=$\frac{4}{x}$，
又∵點B（m，-2）在y₁=$\frac{4}{x}$上，
∴m=-2，
∴B（-2，-2），
又∵一次函數(shù)y₂=ax+b過A、B兩點，
即$\left\{\begin{array}{l}{-2a+b=-2}\\{a+b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴y₂=2x+2，
綜上可得y₁=$\frac{4}{x}$，y₂=2x+2；
（2）要使y₁＞y₂，即函數(shù)y₁的圖象總在函數(shù)y₂的圖象上方，
∴0＜x＜1；
（3）過B作BD⊥AC于D，由圖形及題意可得：AC=4+4=8，BD=|-2|+1=3，
∴s_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×8×3=12．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點坐標滿足兩函數(shù)解析式．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及觀察函數(shù)圖象的能力．