Question

18．已知直線y=2x-10與直線y=$\frac{3}{4}$x相交于點A，與x軸相交于點B．
（1）求△OAB的面積．
（2）若OC平分∠AOB交AB于C，在OA上截取OD=OB，連接CD，
①證明：△OCD≌△OCB；
②求△OAC的面積；
③求點C的坐標．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立兩函數解析式可求得A點坐標，再由y=2x-10可求得B點坐標，則可求得△OAB的面積；
（2）①由角平分線的定義，結合條件可證明△OCD≌△OCB；
②由全等可求得OB=OD=5，且OA=10，則可求得OD=DA，則S_△OCD=S_△ACD=S_△OCB，可求得△OAC的面積；
③過點C分別做CM⊥x軸，CN⊥OA，垂足分別為點M、N，利用三角形的面積可求得CN，則可求得CM，可求得C點坐標．

解答 解：
（1）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-10}\\{y=\frac{3}{4}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴A（8，6），
∴OA=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
在y=2x-10中，令y=0可得2x-10=0，解得x=5，
∴B（5，0），
∴OB=5，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$×5×6=15；
（2）①證明：
∵OC平分∠AOB，
∴∠COD=∠COB，
在△OCD和△OCB中
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OB}\\{∠COD=∠COB}\\{OC=OC}\end{array}\right.$
∴△OCD≌△OCB（SAS）；
②∵OB=OD=5，且OA=10，
∴OD=DA=5，
∴S_△OCD=S_△ACD=S_△OCB=$\frac{1}{3}$S_△OAB=5，
∴S_△OAC=2S_△OCD=10；
③如圖，過點C分別做CM⊥x軸，CN⊥OA，垂足分別為點M、N，

∵S_△OAC=$\frac{1}{2}$×OA×CN=10，
∴CN=CM=2，即點C的縱坐標為2，
當y=2時，2=2x-10，解得x=6，
∴C（6，2）．

點評 本題為一次函數的綜合應用，涉及函數圖象的交點、勾股定理、全等三角形的判定和性質、角平分線的性質等知識點．在（1）中求得A、B兩點的坐標是解題的關鍵，在（2）中注意角平分線的定義和性質的應用是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，但難度不大．