Question

17．如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是圓上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至D，使CD=BC，連接AD，過C作CE⊥AD于E，BE交⊙O于F．求證：EF•EB=AE•DE．

Answer 1

分析 由于AB是⊙O的直徑，考慮連接AC，得直角三角形．在直角三角形中，因?yàn)镃E⊥AD于E，滿足射影定理，
CE²=DE•AE，證明CE²=EF•EB是關(guān)鍵，所以考慮切割線定理，解決問題需證明CE是切線，利用BC=CD及半徑長(zhǎng)相等得證．

解答 證明：連接AC、OC
∵AB是直徑，∴∠BCA=90°=∠ACD，AC⊥BD．
在Rt△ACD中，∵CE⊥AD于E，
∴CE²=DE•AE（射影定理）
∵AC⊥BD，BC=CD，
∴∠BAC=∠CAD（三線合一），
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC=∠CAD，
∴OC∥AD．
∴∠OCE=∠AEC=90°，
因?yàn)辄c(diǎn)C在⊙O上，∠OCE=90°，
∴CE是⊙O的切線，
∴CE²=EF•EB（切割線定理）
∴EF•EB=AE•DE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)及切割線定理、射影定理等．也可通過證明三角形相似得到結(jié)?論．