Question

4．已知實數(shù)m滿足m⁴-m²-2m-1=0，實數(shù)n滿足n-$\frac{1}{n}$=1，則$\frac{m}{n}$+$\frac{n}{m}$=-3或2．

Answer 1

分析 由m⁴-m²-2m-1=0得m⁴=（m+1）²，即m²=m+1或m²=-m-1（無解，舍去），由n-$\frac{1}{n}$=1得n²-n-1=0，從而得出m、n可看作方程x²-x-1的兩實數(shù)根，由韋達定理得m+n=1、mn=-1，將其代入$\frac{m}{n}$+$\frac{n}{m}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{mn}$=$\frac{（m+n）^{2}-2mn}{mn}$可得答案．

解答 解：∵m⁴-m²-2m-1=0，
∴m⁴=m²+2m+1，即m⁴=（m+1）²，
∴m²=m+1或m²=-m-1，
當m²=m+1，即m²-m-1=0時，△=（-1）²-4×1×（-1）=5＞0，有解；
當m²=-m-1，即m²+m+1=0時，△=1²-4×1×1=-3＜0，無解，舍去；
∴實數(shù)m滿足m²-m-1=0；
∵n-$\frac{1}{n}$=1，
∴n²-1=n，即n²-n-1=0，
∴當m≠n時，m、n可看作方程x²-x-1的兩實數(shù)根，
∴m+n=1，mn=-1，
則$\frac{m}{n}$+$\frac{n}{m}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{mn}$
=$\frac{（m+n）^{2}-2mn}{mn}$
=$\frac{{1}^{2}-2×（-1）}{-1}$
=-3，
當m=n時，原式=1+1=2，
故答案為：-3或2．

點評 本題主要考查分式的混合運算、一元二次方程的根的判別式及韋達定理，根據(jù)已知等式得出m、n是方程x²-x-1的兩實數(shù)根是解題的關鍵．