Question

12．如圖1，直角△ABC中，∠ABC=90°，AB是⊙O的直徑，⊙O交AC于點D，過點D的直線交BC于點E，交AB的延長線于點P，且∠A=∠PDB．
（1）求證：PD是⊙O的切線；
（2）如圖2，點M是$\widehat{AB}$ 的中點，連接DM，交AB于點N，若tan∠A=$\frac{1}{4}$，求$\frac{DN}{MN}$的值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OD；由AB是⊙O的直徑，得到ADB=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ADO=∠A，∠BDO=∠ABD；得到∠PDO=90°，且D在圓上，于是得到結(jié)論；
（2）連結(jié)OM，過D作DF⊥AB于F；由點M是$\widehat{AB}$的中點，得到OM⊥AB；設(shè)BD=x，根據(jù)已知條件得到AD=4x；由勾股定理得到AB=$\sqrt{（4x）^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{17}$x；根據(jù)三角形的面積公式解方程得到DF=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）連結(jié)OD；
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，OA=OB，∠A+∠ABD=90°；
又∵OA=OB=OD，
∴∠ADO=∠A，∠BDO=∠ABD；
又∵∠A=∠PDB，
∴∠PDB+∠BD0=90°，
即∠PDO=90°，且D在圓上，
∴PD是⊙O的切線；

（2）連結(jié)OM，過D作DF⊥AB于F；
∵點M是$\widehat{AB}$的中點，
∴OM⊥AB；設(shè)BD=x，
∵tan∠A=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{1}{4}$，
∴AD=4x；由勾股定理得：
AB=$\sqrt{（4x）^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{17}$x；由三角形的面積公式得：$\frac{1}{2}$AD•BD=$\frac{1}{2}$AB•DF，
∴DF=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$x，
∵OM∥DF，
∴△OMN∽△FDN，
∴$\frac{DN}{MN}$=$\frac{DF}{OM}$=$\frac{8}{17}$．

點評 該題考查了切線的判定、等邊三角形的判定及其性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是牢固掌握切線的判定及其性質(zhì)、勾股定理等幾何知識點．