Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A是直線y=-x上一動點，點P的坐標(biāo)為（0，1）點Q的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-2），當(dāng)|AP-AQ|最大時，點A的坐標(biāo)為（4，-4）．

Answer 1

分析 先作點Q（$\frac{3}{2}$，-2）關(guān)于直線y=-x對稱的點Q'（2，-1.5），再連接AP，AQ，AQ'，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得AQ=AQ'，根據(jù)|AP-AQ|≤PQ'，可知當(dāng)A，Q'，P在同一直線上時，|AP-AQ|=PQ'，此時|AP-AQ|有最大值，最后根據(jù)待定系數(shù)法求得直線解析式，并解方程組即可得到點A的坐標(biāo)．

解答 解：如圖所示，作點Q（$\frac{3}{2}$，-2）關(guān)于直線y=-x對稱的點Q'（2，-1.5），
連接AP，AQ，AQ'，則AQ=AQ'，
由圖可得，|AP-AQ|≤PQ'，
∴當(dāng)A，Q'，P在同一直線上時，|AP-AQ|=PQ'，
此時|AP-AQ|有最大值，
設(shè)直線PQ'的解析式為y=kx+b，
把（0，1），（2，-1.5）代入可得，
$\left\{\begin{array}{l}{-1.5=2k+b}\\{1=b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{5}{4}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直線PQ'的解析式為y=-$\frac{5}{4}$x+1，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{5}{4}x+1}\\{y=-x}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
∴A（4，-4），
故答案為：（4，-4）．

點評 本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及最短路線問題，解決問題的關(guān)鍵是依據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行判斷．凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點．