Question

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)E．
（1）判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的直線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)D，求D點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）易求得拋物線與x軸交點(diǎn)，可得OA，OB的長(zhǎng)度，即可求得AC、BC的長(zhǎng)度，即可解題；
（2）易求得直線BC的解析式和拋物線對(duì)稱軸，即可解題．

解答 解：（1）當(dāng)y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+3=0時(shí)，
解得：x=-$\sqrt{3}$或3$\sqrt{3}$，
∴OA=$\sqrt{3}$，OB=3$\sqrt{3}$，AB=4$\sqrt{3}$，
∵x=0時(shí)，y=3，
∴AC=$\sqrt{{{OC}^{2}+OA}^{2}}$=$2\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{{{OC}^{2}+OB}^{2}}$=6，
∵AC²+BC²=9+27=36，AB²=36，
∴△ABC為直角三角形；
（2）∵點(diǎn)B坐標(biāo)（$3\sqrt{3}$，0）、點(diǎn)C坐標(biāo)（0，3），
設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，代入B、C點(diǎn)坐標(biāo)得：$\left\{\begin{array}{l}{0=3\sqrt{3}k+b}\\{3=b}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，b=3，
∴直線BC解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3，
∵拋物線對(duì)稱軸為x=-$\frac{2a}$=$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)D縱坐標(biāo)為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\sqrt{3}$+3=2，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了代入法求直線解析式的方法，考查了拋物線對(duì)稱軸的計(jì)算，本題中求得直線BC解析式是解題的關(guān)鍵．