Question

如圖，以?ABCD的邊AB為直徑的⊙O經(jīng)過點D，點E在⊙O上，∠AED=45°，
（1）判斷CD與⊙O的關(guān)系，并說明理由．
（2）若已知：∠ADE=54°，⊙O的半徑為5，求劣弧AE的長．

Answer 1

考點：切線的判定,平行四邊形的性質(zhì),弧長的計算

專題：計算題

分析：（1）連結(jié)OD，根據(jù)圓周角定理得到∠AOD=2∠AED=90°，再利用平行四邊形的性質(zhì)得AB∥CD，則∠CDO=∠DOA=90°，所以O(shè)D⊥DC，然后根據(jù)切線的判定定理得到CD與⊙O相切；
（2）連結(jié)OE，根據(jù)圓周角定理得到∠AOE=2∠ADE=108°，然后根據(jù)弧長公式計算．

解答：解：（1）CD與⊙O相切．理由如下：
連結(jié)OD，如圖，
∵∠AED=45°，
∴∠AOD=2∠AED=90°，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠CDO=∠DOA=90°，
∴OD⊥DC，
∴CD與⊙O相切；

（2）連結(jié)OE，
∵∠AOE=2∠ADE=2×54°=108°，
∴劣弧AE的長=

108•π•5

180

=3π．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理、平行四邊形的性質(zhì)和弧長公式．