Question

11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（t，0），B（t+$\sqrt{3}$，0），對(duì)于線段AB和x軸上方的點(diǎn)P給出如下定義：當(dāng)∠APB=60°時(shí)，稱點(diǎn)P為AB的“等角點(diǎn)”．
（1）若t=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，在點(diǎn)C（0，$\frac{3}{2}$），D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），E（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）中，線段AB的“等角點(diǎn)”是C、D；
（2）直線MN分別交x軸、y軸于點(diǎn)M、N，點(diǎn)M的坐標(biāo)是（6，0），∠OMN=30°．
①線段AB的“等角點(diǎn)”P在直線MN上，且∠ABP=90°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②在①的條件下，過點(diǎn)B作BQ⊥PA，交MN于點(diǎn)Q，求∠AQB的度數(shù)；
③若線段AB的所有“等角點(diǎn)”都在△MON內(nèi)部，則t的取值范圍是1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜t＜4-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)給定的t值找出A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用解三角形的方法討論C、D、E點(diǎn)是否滿足“等角點(diǎn)”的條件即可得出結(jié)論；
（2）①畫出點(diǎn)N在y軸正半軸時(shí)圖形，通過角的計(jì)算得出∠PAB=∠OMN，從而得出“PA=PM，AB=BM”，再通過解直角三角形即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)，同理可得出點(diǎn)N在y軸負(fù)半軸時(shí)的P點(diǎn)的坐標(biāo)；②通過角的計(jì)算找出∠BMQ=∠MQB=30°，再結(jié)合外角的性質(zhì)得出BQ=BM=AB即得出△ABQ是等邊三角形，從而得出結(jié)論，同理點(diǎn)N在y軸負(fù)半軸時(shí)，結(jié)論相同；
（3）通過構(gòu)建與y軸以及與線段MN相切的圓，找出點(diǎn)A與點(diǎn)B的臨界點(diǎn)，求出此時(shí)的t值，從而得出線段AB的所有“等角點(diǎn)”都在△MON內(nèi)部，則t的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)t=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí)，點(diǎn)A（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），點(diǎn)B（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
∵點(diǎn)C（0，$\frac{3}{2}$），OC=$\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，且點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠ACB=60°，點(diǎn)C是線段AB的“等角點(diǎn)”；
∵點(diǎn)D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），B、D橫坐標(biāo)相等，
∴BD⊥x軸于點(diǎn)B．
∵AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=$\sqrt{3}$，BD=1-0=1，tan∠ADB=$\frac{AB}{BD}$=$\sqrt{3}$，
∴∠ADB=60°，點(diǎn)D是線段AB的“等角點(diǎn)”；
∵點(diǎn)E（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），A、E橫坐標(biāo)相等，
∴AE⊥x軸于點(diǎn)A．
∵AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=$\sqrt{3}$，AE=$\frac{3}{2}$-0=$\frac{3}{2}$，tan∠AEB=$\frac{AB}{AE}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴∠AEB≠60°，點(diǎn)E不是線段AB的“等角點(diǎn)”．
綜上可知：點(diǎn)C、D是線段AB的“等角點(diǎn)”．
故答案為：C、D．
（2）①當(dāng)點(diǎn)N在y軸正半軸時(shí)，如圖1，

∵∠APB=60°，∠ABP=90°，
∴∠PAB=30°，
又∵∠OMN=30°，
∴PA=PM，AB=BM．
∵AB=$\sqrt{3}$，
∴BM=$\sqrt{3}$，
∴PB=1．
∴P（6-$\sqrt{3}$，1）．
當(dāng)點(diǎn)N在y軸負(fù)半軸時(shí)，同理可得點(diǎn)P（6+$\sqrt{3}$，1）．
②當(dāng)點(diǎn)N在y軸正半軸時(shí)，如圖2，

∵BQ⊥AP，且∠APB=60°，
∴∠PBQ=30°，
∴∠ABQ=60°，
∴∠BMQ=∠MQB=30°，
∴BQ=BM=AB，
∴△ABQ是等邊三角形．
∴∠AQB=60°．
當(dāng)點(diǎn)N在y軸負(fù)半軸時(shí)，同理可得∠AQB=90°．
③以AB=$\sqrt{3}$做底，AO′=BO′為腰，∠AO′B=120°作三角形，如圖3所示．

∵AO′=BO′，AB=$\sqrt{3}$，∠AO′B=120°，
∴AO′=1，O′O″=$\frac{1}{2}$．
（i）在（2）的基礎(chǔ)上，以直線y=$\frac{1}{2}$上的點(diǎn)O′為圓心，1為半徑作圓，當(dāng)圓O′與y軸相切，且O′在y軸右側(cè)時(shí)，如圖4所示，

此時(shí)O′的坐標(biāo)為（1，$\frac{1}{2}$），此時(shí)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1-$\frac{1}{2}$AB=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即t=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（ii）在（2）的基礎(chǔ)上，以直線y=$\frac{1}{2}$上的點(diǎn)O′為圓心，1為半徑作圓，當(dāng)圓O′與線段MN相切，且O′在MN下方時(shí)，如圖5所示．

∵M(jìn)′F=$\frac{1}{2}$，∠OMN=30°，
∴MF=$\frac{M′F}{tan∠OMN}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵O′D=1，∠O′M′D=∠OMN=30°，
∴O′M′=$\frac{O′D}{sin∠O′M′D}$=2．
此時(shí)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為OM-MF-O′M′+$\frac{1}{2}$AB=4，
∴t+$\sqrt{3}$=4，t=4-$\sqrt{3}$．
綜上可知：若線段AB的所有“等角點(diǎn)”都在△MON內(nèi)部，則t的取值范圍是1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜t＜4-$\sqrt{3}$．
故答案為：1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜t＜4-$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用、角的計(jì)算、解直角三角形、切線的性質(zhì)以及等腰（等邊）三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵：（1）通過三角形的計(jì)算找出角的值；（2）①通過解直角三角形求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②找出△ABQ是等邊三角形；③通過相切尋找臨界點(diǎn)．本題屬于中檔題，（1）（2）難度不大，（2）中③難度不小，在尋找A、B點(diǎn)的過程中，通過構(gòu)建滿足條件的圓，來尋找臨界點(diǎn)，解題過程不難，但是點(diǎn)的尋找比較困難，此處與切線的性質(zhì)練習(xí)較大，在日常練習(xí)中應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練．