Question

1．如圖，E、F是正方形ABCD的邊AD上有兩個動點(diǎn)，滿足AE=DF，連接CF交BD于G，連接BE交AG于點(diǎn)H，若正方形的邊長為3，則線段DH長度的最小值是$\frac{3}{2}$（$\sqrt{5}$-1）．

Answer 1

分析 根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△DCF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”證明△ADG和△CDG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠2=∠3，從而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中點(diǎn)O，連接OH、OD，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OH=$\frac{1}{2}$AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時，DH的長度最�。�

解答 解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠BAD=∠CDA}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1=∠2，
在△ADG和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADG=∠CDG}\\{DG=DG}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，
∴∠1+∠BAH=90°，
∴∠AHB=180°-90°=90°，
取AB的中點(diǎn)O，連接OH、OD，
則OH=AO=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$，
在Rt△AOD中，OD=$\sqrt{A{O}^{2}+A{D}^{2}}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$，
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OH+DH＞OD，
∴當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時，DH的長度最小，
最小值=OD-OH=$\frac{3}{2}$（$\sqrt{5}$-1）．
故答案為：$\frac{3}{2}$（$\sqrt{5}$-1）．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，確定出DH最小時點(diǎn)H的位置是解題關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．