Question

5．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數y=$\frac{m}{x}$（m≠0）的圖象交于A，B兩點，與x軸交于C點，已知點A的坐標為（n，6），點C的坐標為（-2，0），且tan∠ACO=2．
（1）求該反比例函數和一次函數的解析式；
（2）求點B的坐標；
（3）請利用圖象直接寫出不等式$\frac{m}{x}$＞kx+b的解集．

Answer 1

分析 （1）利用正切函數求得A（ 1，6），然后利用待定系數法即可求得．
（2）聯立方程，解方程組即可求得B的坐標；
（3）根據函數的圖象和交點坐標即可求得．

解答 解：（1）過A作AD垂直x軸于點D，
∵A的坐標為（n，6），
∴AD=6
在Rt△ACD中，tan∠ACO=2，
∴$\frac{AD}{CD}$=2，
解得：n=1
∴A的坐標為（1，6），
又∵A在反比例函數y=$\frac{m}{x}$（m≠0）的圖象上，
∴m=6，
∵一次函數y=kx+b過A（1，6）和C（-2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{6=k+b}\\{0=-2k+b}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=4}\end{array}\right.$
∴一次函數解析式為y=2x+4．
∴反比例函數解析式為：y=$\frac{6}{x}$，一次函數解析式為：y=2x+4．
（2）解方程組：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{6}{x}}\\{y=2x+4}\end{array}\right.$解得：x₁=1（舍去），x₂=-3，
∴B的坐標為（-3，-2）．
（3）不等式$\frac{m}{x}$＞kx+b的解集為：x＜-3或0＜x＜1．

點評 此題考查了反比例函數與一次函數的交點問題．其知識點有解直角三角形，待定系數法求解析，解方程組等，此題難度適中，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．