Question

如圖，P為等邊△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，求證：
（1）PA+PB+PC＞

3

2

AB；
（2）AP+BP＞PC．
（注：只用三角形三邊關(guān)系證明）

Answer 1

考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì),三角形三邊關(guān)系

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)PA+PB＞AB PB+PC＞BC PC+PA＞AC，得出（PA+PB+PB+PC+PC+PA）＞AB+BC+AC，2（PA+PB+PC）＞3AB，即可得出答案，
（2）以PA為邊長作等邊△PAD，使P、D分別在AC的兩側(cè)，連接CD，則PD=AP，BP=CD，再根據(jù)PD+CD＞PC，即可得出AP+BP＞PC．

解答：解；（1）∵PA+PB＞AB PB+PC＞BC PC+PA＞AC，
∴（PA+PB+PB+PC+PC+PA）＞AB+BC+AC，
∵AB=BC=AC，
∴2（PA+PB+PC）＞3AB
∴PA+PB+PC＞

3

2

AB，
（2）如圖以PA為邊長作等邊△PAD，使P、D分別在AC的兩側(cè)，連接CD，
則△PAB≌△ACD，PD=AP，
∴BP=CD，
在△PCD中，
∵PD+CD＞PC，
∴AP+BP＞PC．

點(diǎn)評：此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，用到的知識點(diǎn)是等邊三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、不等式的性質(zhì)，關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造出三角形．