Question

如圖1，將射線OX按逆時針方向旋轉(zhuǎn)β角，得到射線OY，如果點P為射線OY上的一點，且OP=a，那么我們規(guī)定用（a，β）表示點P在平面內(nèi)的位置，并記為P（a，β）．例如，圖2中，如果OM=8，∠XOM=110°，那么點M在平面內(nèi)的位置，記為M（8，110）．根據(jù)圖形，解答下列問題：
（1）如圖3中，如果點N在平面內(nèi)的位置極為N（6，30），那么ON=

 

，∠XON=

 

；
（2）如果點A、B在平面內(nèi)的位置分別記為A（4，30），B（4，90），試求A、B兩點間的距離．（畫出圖形并寫出解題過程）
（3）在（2）中，若以AB為一邊在平面內(nèi)作等邊三角形ABC，試用上述記法表示出另一個頂點C．

Answer 1

考點：勾股定理,點的坐標(biāo),等邊三角形的性質(zhì)

專題：新定義

分析：（1）由題意得第一個坐標(biāo)表示此點距離原點的距離，第二個坐標(biāo)表示此點與原點的連線與x軸所夾的角的度數(shù)；
（2）連接AB，根據(jù)相應(yīng)的度數(shù)判斷出△AOB的形狀即可；
（3）過點O作OD⊥AB于點D，延長OD使CD=OD，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出OD的長，進而可得出OC的長，求出∠COX的度數(shù)即可．

解答： 解：（1）根據(jù)點N在平面內(nèi)的位置極為N（6，30）可知，ON=6，∠XON=30°．
故答案為：6，30°；

（2）∵∠BOX=90°，∠AOX=30°，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB=4，
∴△AOB是等邊三角形，
∴AB=OA=4．

（3）過點O作OD⊥AB于點D，延長OD使CD=OD，
∵由（2）知，△AOB是等邊三角形，∠AOX=30°，
∴∠COX=60°，OD=OA•cos30°=4×

3

2

=2

3

，
∴OC=4

3

，
∴C（0，0）或（4

3

，60）．

點評：本題考查的是勾股定理，根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答是解答此題的關(guān)鍵．