Question

16．如圖，△ABC是圓的內(nèi)接三角形，點(diǎn)E為∠ABC和∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線交圓于點(diǎn)D．
（1）求證：$\widehat{BD}=\widehat{CD}$；
（2）判斷B、E、C三點(diǎn)是否在以D為圓心，DE長(zhǎng)為半徑的⊙D上？并說(shuō)明理由；
（3）如圖2，若∠BEC=110°，則∠BDC=140°（直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得AE是∠BAC的平分線，得出∠1=∠2，根據(jù)圓周角定理即可證得$\widehat{BD}=\widehat{CD}$；
（2）利用等弧所對(duì)的圓周角相等，可得∠BAD=∠CBD，再根據(jù)等量代換得出∠DBE=∠DEB，從而證明DB=DE=DC，所以B，E，C三點(diǎn)在以D為圓心，以DB為半徑的圓上．
（3）根據(jù)圓周角定理求得∠BAC=55°，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可求得∠BDC的度數(shù)．

解答 解：（1）如圖1，∵點(diǎn)E為∠ABC和∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，
∴AE是∠BAC的平分線，
∴∠1=∠2，
∴$\widehat{BD}=\widehat{CD}$；
（2）如圖1，B，E，C三點(diǎn)在以D為圓心，以DB為半徑的圓上．
理由：∵∠1=∠2，
又∵∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴∠DBE=∠3+∠4，∠DEB=∠1+∠5，
∵BE是∠ABC的平分線，
∴∠4=∠5，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE．
∵$\widehat{BD}=\widehat{CD}$，
∴BD=CD
∴DB=DE=DC．
∴B，E，C三點(diǎn)在以D為圓心，以DB為半徑的圓上．
（3）如圖2，∵B，E，C三點(diǎn)在以D為圓心，以DB為半徑的圓上，∠BEC=110°，
∵220°+∠BDC=360°，
∴∠BDC=140°．
故答案為140°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周角定理和圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．