Question

12．如圖，AB是圓O的弦，OA⊥OD，AB，OD相交于點C，且CD=BD．
（1）判斷BD與圓O的位置關系，并證明你的結論；
（2）當OA=3，OC=1時，求線段BD的長．

Answer 1

分析 （1）連接OB，由BD=CD，利用等邊對等角得到∠DCB=∠DBC，再由AO垂直于OD，得到三角形AOC為直角三角形，得到兩銳角互余，等量代換得到OB垂直于BD，即可得證；
（2）設BD=x，則OD=x+1，在RT△OBD中，根據(jù)勾股定理得出3²+x²=（x+1）²，通過解方程即可求得．

解答 （1）證明：連接OB，
∵OA=OB，DC=DB，
∴∠A=∠ABO，∠DCB=∠DBC，
∵AO⊥OD，
∴∠AOC=90°，即∠A+∠ACO=90°，
∵∠ACO=∠DCB=∠DBC，
∴∠ABO+∠DBC=90°，即OB⊥BD，
則BD為圓O的切線；

（2）解：設BD=x，則OD=x+1，而OB=OA=3，
在RT△OBD中，OB²+BD²=OD²，
即3²+x²=（x+1）²，
解得x=4，
∴線段BD的長是4．

點評 此題考查了切線的判定，勾股定理的應用，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關鍵．