Question

11．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分線與BC的延長線交于點E，與DC交于點F，且點F為DC的中點，DG⊥AE，垂足為G．若AE=4$\sqrt{3}$，則DG的長為（　�。�

• A． $\sqrt{7}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． 1
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由AE為角平分線，得到一對角相等，再由ABCD為平行四邊形，得到AD∥BE，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到一對角相等，等量代換及等角對等邊得到AD=DF，由F為DC中點，AB=CD，求出AD與DF的長，得出△ADF為等腰三角形，根據(jù)三線合一得到G為AF中點，再由AAS證得△ADF≌△ECF，得出AF=EF，求出AF的長，得到AG的長，在Rt△ADG中，由AD與AG的長，利用勾股定理即可求出DG的．

解答 解：∵AE為∠DAB的平分線，
∴∠DAE=∠BAE，
∵DC∥AB，
∴∠BAE=∠DFA，
∴∠DAE=∠DFA，
∴AD=FD，
∵DG⊥AE，
∴AG=GF=$\frac{1}{2}$AF，
又F為DC的中點，
∴DF=CF，
∴AD=DF=$\frac{1}{2}$DC=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵平行四邊形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，
在△ADF和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠E}\\{∠ADF=∠ECF}\\{DF=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴AF=EF，
∴AF=$\frac{1}{2}$AE=2$\sqrt{3}$，
∴AG=$\sqrt{3}$，
∴DG=$\sqrt{A{D}^{2}-A{G}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=1．
故選C．

點評 此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解問題的關(guān)鍵．