Question

10．如圖：已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，F(xiàn)E⊥AB，垂足為ID、E．
（1）說明：△AFE∽△CBD；
（2）圖中除△AFE外，與△CBD相似的還有哪些三角形？
（3）說明：BC²=BD•AB．

Answer 1

分析 （1）先利用等角的余角相等得到∠A=∠BCD，然后根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵CD⊥AB，F(xiàn)E⊥AB，
∴∠ADC=90°，∠AEF=90°，
∴∠A+ACD=90°，
而∠BCD+ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，
而∠AEF=∠BDC，
∴△AFE∽△CBD；

（2）∵∠A=∠BCD，∠ACB=∠BDC=∠ADC=90°，
∴△BDC∽△ACB∽△ACD，
∴除△AFE外，與△CBD相似的還有△ACB，△ADC；

（3）∵△BCD∽△ACB，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{BD}{BC}$，
∴BC²=BD•AB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，熟記有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似是解題的關(guān)鍵．