Question

8．已知△ABC中，AB=AC=6$\sqrt{2}$，BC=12．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BA移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段AC的延長線移動(dòng)，點(diǎn)P、Q移動(dòng)的速度相同，PQ與直線BC相交于點(diǎn)D．

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，求CD的長；
（2）如圖②，過點(diǎn)P作直線BC的垂線，垂足為E，當(dāng)點(diǎn)P、Q在移動(dòng)的過程中，設(shè)BE+CD=λ，λ是否為常數(shù)？若是請求出λ的值，若不是請說明理由．
（3）如圖③，E為BC的中點(diǎn)，直線CH垂直于直線AD，垂足為點(diǎn)H，交AE的延長線于點(diǎn)M；直線BF垂直于直線AD，垂足為F；找出圖中與BD相等的線段，并證明．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)P作PF平行與AQ，由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出∠B=∠PFB，證出BP=PF，得出PF=CQ，由ASA證明△PFD≌△QCD，得出DF=CD=$\frac{1}{2}$CF，再證出F是BC的中點(diǎn)，即可得出結(jié)果；
（2）過點(diǎn)P作PF∥AC交BC于F，由（1）得：△PBF為等腰三角形，由等腰三角形的性質(zhì)得出BE=$\frac{1}{2}$BF，由（1）△PFD≌△QCD，得出CD=$\frac{1}{2}CF$，即可得出結(jié)果；
（3）由勾股定理的逆定理證出△ABC是等腰直角三角形，得出∠AEC=∠CEM=90°，AE=CE=BE，再證出∠EAD=∠ECM，由ASA△AED≌△CEM，得出DE=ME，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖①，過P點(diǎn)作PF∥AC交BC于F，
∵點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，且速度相同，
∴BP=CQ，
∵PF∥AQ，
∴∠PFB=∠ACB，∠DPF=∠CQD，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠PFB，
∴BP=PF，
∴PF=CQ，
在△PFD與△QCD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DPF=∠Q}&{\;}\\{PF=QC}&{\;}\\{∠PFD=∠QCD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PFD≌△QCD（ASA），
∴DF=CD=$\frac{1}{2}$CF，
又∵P是AB的中點(diǎn)，PF∥AQ，
∴F是BC的中點(diǎn)，
∴FC=$\frac{1}{2}$BC=6，
∴CD=$\frac{1}{2}$CF=3；
（2）BE+CD=λ=6為定值，λ為常數(shù)．理由如下：
如圖②，過點(diǎn)P作PF∥AC交BC于F，
由（1）得：△PBF為等腰三角形，
∵PE⊥BF
∴BE=$\frac{1}{2}$BF
由（1）△PFD≌△QCD，
∴CD=$\frac{1}{2}CF$，
∴$BE+CD=λ=\frac{1}{2}BF+\frac{1}{2}CF=\frac{1}{2}（{BF+CF}）=\frac{1}{2}BC=6$；
（3）BD=AM；理由如下：
∵△ABC中，AB=AC=6$\sqrt{2}$，BC=12，
∴AB²+AC²=BC²=144
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵E為BC的中點(diǎn)，
∴$CE=BE=\frac{1}{2}BC$，
∴$AE=\frac{1}{2}BC$，∠AEC=∠CEM=90°，
∴AE=CE=BE，∠EAD+∠ADE=90°，
∵AH⊥CM，
∴∠ECM+∠CDH=90°，
∵∠ADE=∠CDH，
∴∠EAD=∠ECM，
在△AED和△CEM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠ECM}&{\;}\\{AE=CE}&{\;}\\{∠AED=∠CEM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CEM（ASA），
∴DE=ME，
∴BE+DE=AE+ME，
即：BD=AM．

點(diǎn)評 本題是三角形綜合題目，考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．