Question

2．如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD中CD邊上一點(diǎn)，△BCE沿BE折疊為△BFE，點(diǎn)F落在AD上．若sin∠DFE=$\frac{1}{3}$，則 tan∠EBC的值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 首先證得△ABF∽△DFE，sin∠DFE=$\frac{1}{3}$，設(shè)DE=a，EF=3a，DF=$\sqrt{{EF}^{2}{-DE}^{2}}$=2$\sqrt{2}$a，可得出CE=EF=3a，CD=DE+CE=4a，AB=4a，∠EBC=∠EBF，由△ABF∽△DFE，可得tan∠EBC=tan∠EBF=$\frac{EF}{BE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=∠C=90°，
∵△BCE沿BE折疊為△BFE，
∴∠BFE=∠C=90°，
∴∠AFB+∠DFE=180°-∠BFE=90°，
又∵∠AFB+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠DFE，
∴△ABF∽△DFE，
在Rt△DEF中，sin∠DFE=$\frac{DE}{EF}$=$\frac{1}{3}$，
∴設(shè)DE=a，EF=3a，DF=$\sqrt{{EF}^{2}{-DE}^{2}}$=2$\sqrt{2}$a，
∵△BCE沿BE折疊為△BFE，
∴CE=EF=3a，CD=DE+CE=4a，AB=4a，∠EBC=∠EBF，
∵△ABF∽△DFE，
∴$\frac{EF}{BF}=\frac{DF}{AB}=\frac{2\sqrt{2}a}{4a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴tan∠EBF=$\frac{EF}{BF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
tan∠EBC=tan∠EBF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及相似三角形的證明方法，以及直角三角形中角的函數(shù)值，找到等角代換是解答此題的關(guān)鍵．