Question

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)B（4，4），點(diǎn)E在BC邊上，將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△AOF，連接EF交y軸于點(diǎn)D．
（Ⅰ）若點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，3），求①線段EF的長(zhǎng)；②點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)E（4，m），S=S_△ABE+S_△FCE，試用含m的式子表示S，并求出使S取得最大值時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)可知，BE=OF，∠FOC=180°，由B（4，4），E（4，3），可得CE=3，CF=5．然后在Rt△CEF中，利用勾股定理即可求得EF=$\sqrt{C{E}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{34}$；
②由OD∥CE，可得△ODF∽△CEF，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得到$\frac{OD}{CE}$=$\frac{OF}{CF}$，代入數(shù)值即可求得OD=$\frac{3}{5}$；
（Ⅱ）由B（4，4），E（4，m），可得BE=4-m，CF=CO+OF=4+4-m=8-m，根據(jù)三角形的面積公式求出S_△ABE=$\frac{1}{2}$AB•BE=2（4-m），S_△FCE=$\frac{1}{2}$CE•CF=$\frac{1}{2}$m（8-m），那么S=2（4-m）+$\frac{1}{2}$m（8-m）=-$\frac{1}{2}$m²+2m+8，利用配方法得到S=-$\frac{1}{2}$（m-2）²+10，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出m=2時(shí)，S取最大值，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，2）．

解答 解：（Ⅰ）①由題意可知，BE=OF，∠FOC=180°，
∵B（4，4），E（4，3），
∴CE=3，CF=5．
∵在Rt△CEF中，∠ECF=90°，
∴EF=$\sqrt{C{E}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{34}$；

②∵OD∥CE，
∴△ODF∽△CEF，
∴$\frac{OD}{CE}$=$\frac{OF}{CF}$，$\frac{OD}{3}$=$\frac{1}{5}$，
∴OD=$\frac{3}{5}$；

（Ⅱ）∵B（4，4），E（4，m），
∴BE=4-m，CF=CO+OF=4+4-m=8-m，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$AB•BE=2（4-m），S_△FCE=$\frac{1}{2}$CE•CF=$\frac{1}{2}$m（8-m），
∴S=2（4-m）+$\frac{1}{2}$m（8-m）=-$\frac{1}{2}$m²+2m+8，
配方，得S=-$\frac{1}{2}$（m-2）²+10，
∴當(dāng)m=2時(shí)，S取最大值，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題是幾何變換綜合題，其中涉及到旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，二次函數(shù)最值的求法等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．