Question

13．如圖，已知△ABC中，AD是∠BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線，求證：△ABC是等腰三角形．

Answer 1

分析 作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得DE=DF，再利用“HL”證明Rt△BDE和Rt△CDF全等，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可證明．

解答 證明：作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，
∵AD是BC邊的中線，
∴BD=CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B=∠C．
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的判定，角平分線的性質(zhì)，直角三角形的全等判定與性質(zhì)，要證邊相等，想辦法證明邊所在的三角形全等，是常用的方法之一，要熟練掌握并靈活運(yùn)用．