Question

8．已知四邊形ABCD中，EF分別是AB、AD邊上的點(diǎn)，DE與CF交于點(diǎn)G．
（1）如圖1，若四邊形ABCD是正方形，且DE⊥CF，求證：DE=CF；
（2）如圖2，若四邊形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求證：$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{CD}$；
（3）如圖3，若四邊形ABCD是平行四邊形，當(dāng)∠B=∠EGF時(shí)，第（2）問的結(jié)論是否成立？若成立給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD為正方形，利用正方形的性質(zhì)得到一對(duì)角為直角，相等，且AD=DC，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，利用AAS得到三角形ADE與三角形DCF全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；
（2）由四邊形ABCD為矩形，得到一對(duì)直角相等，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，利用兩對(duì)角相等的三角形相似得到三角形ADE與三角形DCF相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可得證；
（3）當(dāng)∠B=∠EGF時(shí)，$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{DC}$成立，理由為：如圖3，在AD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)M，使CM=CF，利用平行線的性質(zhì)，以及同角的補(bǔ)角相等得到三角形ADE與三角形DCM相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可得證．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ADC=90°，AD=DC，
∴∠ADE+∠AED=90°，
∵DE⊥CF，
∴∠ADE+∠CFD=90°，
∴∠AED=∠CFD，
∴△ADE≌△DCF，
∴DE=CF；
（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=90°，
∵DE⊥CF，
∴∠ADE+∠CFD=90°，∠DCF+∠CFD=90°，
∴∠ADE=∠DCF，
∴△ADE∽△DCF，
∴$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{DC}$；
（3）解：當(dāng)∠B=∠EGF時(shí)，$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{DC}$成立，
證明：如圖3，在AD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)M，使CM=CF，

則∠CMF=∠CFM，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠CDM，
∵AD∥BC，
∴∠B+∠A=180°，
∵∠B=∠EGF，
∴∠EGF+∠A=180°，
∴∠AED=∠CFM=∠CMF，
∴△ADE∽△DCM，
∴$\frac{DE}{CM}$=$\frac{AD}{DC}$，即$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{DC}$．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于相似形綜合題，涉及的知識(shí)有：全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．