Question

2．已知關于x的一元二次方程（m²-1）x²+2（m-2）x+1=0有實數(shù)根．
（1）求m的最大整數(shù)值；
（2）當m取最大整數(shù)值時，
①求出該方程的根；②求3x²+$\frac{36x-5}{{x}^{2}+4x+2}$的值．

Answer 1

分析 （1）當二次項系數(shù)為0時，可得出m=±1，當二次項系數(shù)不為0時，由方程有實數(shù)根結合根的判別式可得出m≤$\frac{5}{4}$且m≠±1，由此即可得出m的最大整數(shù)值為1；
（2）①將m=1代入原方程求出x值；②將①中的結論代入分式中，即可求出結論．

解答 解：（1）方程（m²-1）x²+2（m-2）x+1=0有實數(shù)根分兩種情況：
當m²-1=0時，m-2≠0，此時m=±1；
當m²-1≠0時，△=[2（m-2）]²-4（m²-1）=-16m+20≥0，
解得：m≤$\frac{5}{4}$且m≠±1．
∴m的最大整數(shù)值為1．
（2）①當m=1時，原方程為-2x+1=0，
解得：x=$\frac{1}{2}$．
②∵x=$\frac{1}{2}$，
∴3x²+$\frac{36x-5}{{x}^{2}+4x+2}$=3×$（\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{36×\frac{1}{2}-5}{（\frac{1}{2}）^{2}+4×\frac{1}{2}+2}$=$\frac{259}{68}$．

點評 本題考查了根的判別式以及解一元一次方程，解題的關鍵是：（1）分m²-1=0和m²-1≠0兩種情況考慮；（2）①解一元一次方程-2x+1=0；②將x=$\frac{1}{2}$代入分式中求值．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，分二次項系數(shù)為0和非0兩種情況考慮解得情況是關鍵．