Question

20．如圖，已知點C為直線y=x上在第一象限內(nèi)一點，直線y=2x+1交y軸于點A，交x軸于B，將直線AB沿射線OC方向平移$\sqrt{2}$個單位，則平移后直線的解析式為y=2x．

Answer 1

分析 設(shè)點A沿射線OC方向平移$\sqrt{2}$個單位后到達(dá)點M，點B沿射線OC方向平移$\sqrt{2}$個單位后到達(dá)點N，過點M作ME⊥y軸于點M，過點N作NF⊥x軸于點F，則△AEM和△BFN為等腰直角三角形，根據(jù)直線AB的解析式利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可得出點A、B的坐標(biāo)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合AM=BN=$\sqrt{2}$即可得出點M、N的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出平移后直線的解析式．

解答 解：設(shè)點A沿射線OC方向平移$\sqrt{2}$個單位后到達(dá)點M，點B沿射線OC方向平移$\sqrt{2}$個單位后到達(dá)點N，過點M作ME⊥y軸于點M，過點N作NF⊥x軸于點F，如圖所示．
∵直線OC的解析式為y=x，
∴∠COF=∠COA=45°．
∵AM∥OC、BN∥OC，
∴∠NBF=∠COF=45°，∠MAE=∠COA=45°，
∴△AEM和△BFN為等腰直角三角形，且AM=BN=$\sqrt{2}$，
∴BF=NF=AE=EM=1．
當(dāng)x=0時，y=2x+1=1，
∴點A的坐標(biāo)為（0，1）；
當(dāng)y=2x+1=0時，x=-$\frac{1}{2}$，
∴點B的坐標(biāo)為（-$\frac{1}{2}$，0）．
∴點M的坐標(biāo)為（1，2），點N的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，1）．
設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b，
將M（1，2）、N（$\frac{1}{2}$，1）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=2}\\{\frac{1}{2}k+b=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=0}\end{array}\right.$，
∴直線MN的解析式為y=2x．
故答案為：y=2x．

點評 本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，根據(jù)平移的特征找出點A、B平移后的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．