Question

3．如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜邊BC上兩點，且∠DAE=45°，將△ADC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△AFB，連接EF，下列結(jié)論：
①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE=EF-DC；④BE²+DC²=DE²
其中正確的選項是①④（填序號）

Answer 1

分析 首先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可求得頂角與底角的度數(shù)；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得對應(yīng)角與對應(yīng)邊相等；根據(jù)全等三角形的判定定理即可求得①正確；根據(jù)勾股定理與等量代換可得④正確；由三角形的三邊關(guān)系可得③錯誤；②無法判斷，所以錯誤．

解答 解：∵在Rt△ABC中，AB=AC，
∴∠BAC=90°，∠ABC=∠C=45°，
∵∠DAE=45°，
∴∠BAE+∠DAC=45°，
∵將△ADC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△AFB，
∴∠BAF=CAD，AF=AD，BF=CD，∠ABF=∠C=45°，
∴∠EAF=∠BAF+∠BAE=45°，
∴∠EAF=∠EAD，∠EBF=90°，
∴△AED≌△AEF，①正確，
∴DE=EF，
在△BEF中，BE+BF＞EF，
∴BE+CD＞EF，③錯誤，
在Rt△BEF中，BE²+BF²=EF²，
∴BE²+DC²=DE²；④正確；
∴正確的選項是：①④．

點評 此題考查了相似三角形的判定定理、全等三角形的判定定理、等腰直角直角三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．此題涉及的知識面比較廣，解題時要注意仔細分析．