Question

17．等邊△ABC的邊長為4，D是射線BC上任一點，線段AD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，連接CE．

（1）當(dāng)點D是BC的中點時，如圖1，判斷線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)論：（不必證明）；
（2）當(dāng)點D是BC邊上任一點時，如圖2，請用等式表示線段AB，CE，CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）當(dāng)點D是BC延長線上一點且CD=1時，如圖3，求線段CE的長．

Answer 1

分析 （1）如圖，連接AE，根據(jù)段AD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，得到AD=DE，推出△ADE是等邊三角形，由△ABC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AC證得AC垂直平分DE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)的即可得到結(jié)論；
（2）如圖2，連接AE，由（1）得△ADE是等邊三角形，得到AD=AE，∠DAE=60°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AC，∠BAC=60°，證得∠BAD=∠CAE，推出△ABD≌△AEC，由全等三角形的性質(zhì)得到BD=CE，等量代換即可得到結(jié)論；
（3）如圖3，連接AE，方法同（2）．

解答 解：（1）BD=CE，
如圖，連接AE，
∵段AD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，
∴AD=DE，
∵∠ADE=60°，
∴△ADE是等邊三角形，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∵BD=CD，
∴∠CAD=30°，
∴AC垂直平分DE，
∴CD=CE，
∴BD=CE；

（2）AB=CD+CE，
理由：如圖2，連接AE，
由（1）得△ADE是等邊三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD于△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AEC，
∴BD=CE，
∵BC=BD+CD，
∴BC=CE+CD，
∴AB=CD+CE；

（3）如圖3，連接AE，
由（1）得△ADE是等邊三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD于△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AEC，
∴CE=BD，
∵BD=BC+CD=5，
∴CE=5．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，連接AE構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．