Question

3．如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，動點F，E分別以相同的速度從D，C兩點同時出發(fā)向C和B運動（任何一個點到達即停止），過點P作PM∥CD交BC于M點，PN∥BC交CD于N點，連接MN，在運動過程中，
①AE和BF的位置關系為AE⊥BF．；
②線段MN的最小值為$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 ①由△ABE≌△BCF（SAS），推出∠BAE=∠CBF，AE=BF，由∠BAE+∠BEA=90°，推出∠CBF+∠BEA=90°，推出∠APB=90°；
②由點P在運動中保持∠APB=90°，推出點P的路徑是一段以AB為直徑的弧，設AB的中點為G，連接CG交弧于點P，此時CP的長度最��；

解答 解：①如圖，∵動點F，E的速度相同，
∴DF=CE，
又∵CD=BC，
∴CF=BE，
在△ABE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠BCF=90°}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，
∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠APB=90°，
∴AE⊥BF，
②∵點P在運動中保持∠APB=90°，
∴點P的路徑是一段以AB為直徑的弧，
設AB的中點為G，連接CG交弧于點P，此時CP的長度最小，
在Rt△BCG中，CG=$\sqrt{B{C}^{2}+B{G}^{2}}$=$\sqrt{1+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∵PG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$，
∴CP=CG-PG=$\frac{\sqrt{5}}{2}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
即線段CP的最小值為 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故答案為AE⊥BF，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點評 本題為四邊形的綜合應用，涉及全等三角形、勾股定理、正方形的性質(zhì)、圓的有關知識等知識點．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸�條件，學會利用輔助圓解決問題，掌握求圓外一點到圓的點的距離的最值問題的方法，屬于中考填空題中的壓軸題．