Question

14．如圖，已知點(diǎn)A（$2\sqrt{3}$，3），AC⊥x軸于點(diǎn)M，交直線y=-x于點(diǎn)N，若點(diǎn)P是線段ON上的一個動點(diǎn)，∠APB=30°，BA⊥PA，則點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動時，A點(diǎn)不變，B點(diǎn)隨之運(yùn)動，則當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動到點(diǎn)N時，點(diǎn)B運(yùn)動的路徑長為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 首先，需要證明線段B₀B_n就是點(diǎn)B運(yùn)動的路徑（或軌跡），如答圖②所示．利用相似三角形可以證明；其次，如答圖①所示，利用相似三角形△AB₀B_n∽△AON，求出線段B₀B_n的長度，即點(diǎn)B運(yùn)動的路徑長．

解答 解：由題意可知，OM=2$\sqrt{3}$，點(diǎn)N在直線y=-x上，AC⊥x軸于點(diǎn)M，
則△OMN為等腰直角三角形，ON=$\sqrt{2}$OM=$\sqrt{2}$×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{6}$．
如答圖①所示，
設(shè)動點(diǎn)P在O點(diǎn)（起點(diǎn)）時，點(diǎn)B的位置為B₀，動點(diǎn)P在N點(diǎn)（終點(diǎn)）時，點(diǎn)B的位置為B_n，連接B₀B_n．
∵AO⊥AB₀，AN⊥AB_n，
∴∠OAC=∠B₀AB_n，
又∵AB₀=AO•tan30°，AB_n=AN•tan30°，
∴AB₀：AO=AB_n：AN=tan30°（此處也可用30°角的Rt△三邊長的關(guān)系來求得），
∴△AB₀B_n∽△AON，且相似比為tan30°，
∴B₀B_n=ON•tan30°=2$\sqrt{6}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2$\sqrt{2}$．
現(xiàn)在來證明線段B₀B_n就是點(diǎn)B運(yùn)動的路徑（或軌跡）．
如答圖②所示，
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動至ON上的任一點(diǎn)時，設(shè)其對應(yīng)的點(diǎn)B為B_i，連接AP，AB_i，B₀B_i．
∵AO⊥AB₀，AP⊥AB_i，
∴∠OAP=∠B₀AB_i，
又∵AB₀=AO•tan30°，AB_i=AP•tan30°，
∴AB₀：AO=AB_i：AP，
∴△AB₀B_i∽△AOP，
∴∠AB₀B_i=∠AOP．
又∵△AB₀B_n∽△AON，
∴∠AB₀B_n=∠AOP，
∴∠AB₀B_i=∠AB₀B_n，
∴點(diǎn)B_i在線段B₀B_n上，即線段B₀B_n就是點(diǎn)B運(yùn)動的路徑（或軌跡）．
綜上所述，點(diǎn)B運(yùn)動的路徑（或軌跡）是線段B₀B_n，其長度為2$\sqrt{2}$，
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查坐標(biāo)平面內(nèi)由相似關(guān)系確定的點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，難度很大．本題的要點(diǎn)有兩個：首先，確定點(diǎn)B的運(yùn)動路徑是本題的核心，這要求考生有很好的空間想象能力和分析問題的能力；其次，由相似關(guān)系求出點(diǎn)B運(yùn)動路徑的長度，可以大幅簡化計(jì)算，避免陷入坐標(biāo)關(guān)系的復(fù)雜運(yùn)算之中．