Question

18．已知點(diǎn)O是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接OA并延長到E，使得AE=OA，以O(shè)B，OC為鄰邊作?OBFC，連接OF與BC交于點(diǎn)H，再連接EF．
（1）如圖1，若△ABC為等邊三角形，求證：①EF⊥BC；②EF=$\sqrt{3}$BC；
（2）如圖2，若△ABC為等腰直角三角形（BC為斜邊），猜想（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否成立？若成立，直接寫出結(jié)論即可；若不成立，請(qǐng)你直接寫出你的猜想結(jié)果；
（3）如圖3，若△ABC是等腰三角形，且AB=AC=kBC，請(qǐng)你直接寫出EF與BC之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)得到BH=HC=$\frac{1}{2}$BC，OH=HF，再由等邊三角形的性質(zhì)得到AB=BC，AH⊥BC，根據(jù)勾股定理得到AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC，即可；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)得到BH=HC=$\frac{1}{2}$BC，OH=HF，再由等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB=$\sqrt{2}$BC，AH⊥BC，根據(jù)勾股定理得到AH=BC，即可；
（3）由平行四邊形的性質(zhì)得到BH=HC=$\frac{1}{2}$BC，OH=HF，再由等腰三角形的性質(zhì)和AB=AC=kBC得到AB=BC，AH⊥BC，根據(jù)勾股定理得到AH=$\frac{1}{2}$$\sqrt{4{k}^{2}-1}$BC，即可．

解答 證明：（1）連接AH，如圖1，

∵四邊形OBFC是平行四邊形，
∴BH=HC=$\frac{1}{2}$BC，OH=HF，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，AH⊥BC，
在Rt△ABH中，AH²=AB²-BH²，
∴AH=$\sqrt{B{C}^{2}-（\frac{1}{2}BC）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC，
∵OA=AE，OH=HF，
∴AH是△OEF的中位線，
∴AH=$\frac{1}{2}$EF，AH∥EF，
∴EF⊥BC，$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\frac{1}{2}$EF，
∴EF⊥BC，EF=$\sqrt{3}$BC；
（2）EF⊥BC仍然成立，EF=BC，如圖2，

∵四邊形OBFC是平行四邊形，
∴BH=HC=$\frac{1}{2}$BC，OH=HF，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=$\sqrt{2}$BH，AH⊥BC，
在Rt△ABH中，AH²=AB²-BH²=（$\sqrt{2}$BH）²-BH²=BH²，
∴AH=BH=$\frac{1}{2}$BC，
∵OA=AE，OH=HF，
∴AH是△OEF的中位線，
∴AH=$\frac{1}{2}$EF，AH∥EF，
∴EF⊥BC，$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$EF，
∴EF⊥BC，EF=BC；
（3）如圖3，

∵四邊形OBFC是平行四邊形，
∴BH=HC=$\frac{1}{2}$BC，OH=HF，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=kBC，AH⊥BC，
在Rt△ABH中，AH²=AB²-BH²=（kBC）²-（$\frac{1}{2}$BC^）2=（k²-$\frac{1}{4}$）BC²，
∴AH=$\frac{1}{2}$$\sqrt{4{k}^{2}-1}$BC，
∵OA=AE，OH=HF，
∴AH是△OEF的中位線，
∴AH=$\frac{1}{2}$EF，AH∥EF，
∴EF⊥BC，$\frac{1}{2}$$\sqrt{4{k}^{2}-1}$BC=$\frac{1}{2}$EF，
∴EF=$\sqrt{4{k}^{2}-1}$BC．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形，等腰直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，中位線的判斷和性質(zhì)，找出AH與BC的關(guān)系式解本題的關(guān)鍵也是難點(diǎn)．