Question

3．如圖，二次函數(shù)y=-x²+3x+m的圖象與x軸的一個交點為B（4，0），另一個交點為A，且與y軸相交于C點
（1）求m的值及C點坐標；
（2）在直線BC上方的拋物線上是否存在一點M，使得它與B，C兩點構成的三角形面積最大，若存在，求出此時M點坐標；若不存在，請簡要說明理由
（3）P為拋物線上一點，它關于直線BC的對稱點為Q
①當四邊形PBQC為菱形時，求點P的坐標；
②點P的橫坐標為t（0＜t＜4），當t為何值時，四邊形PBQC的面積最大，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）先判斷出面積最大時，平移直線BC的直線和拋物線只有一個交點，從而求出點M坐標；
（3）①先判斷出四邊形PBQC時菱形時，點P是線段BC的垂直平分線，利用該特殊性建立方程求解；
②先求出四邊形PBCQ的面積與t的函數(shù)關系式，從而確定出它的最大值．

解答 解：（1）將B（4，0）代入y=-x²+3x+m，
解得，m=4，
∴二次函數(shù)解析式為y=-x²+3x+4，
令x=0，得y=4，
∴C（0，4），
（2）存在，
理由：∵B（4，0），C（0，4），
∴直線BC解析式為y=-x+4，
當直線BC向上平移b單位后和拋物線只有一個公共點時，△MBC面積最大，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4+b}\\{y=-{x}^{2}+3x+4}\end{array}\right.$，
∴x²-4x+b=0，
∴△=16-4b=0，
∴b=4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴M（2，6），
（3）①如圖，

∵點P在拋物線上，
∴設P（m，-m²+3m+4），
當四邊形PBQC是菱形時，點P在線段BC的垂直平分線上，
∵B（4，0），C（0，4）
∴線段BC的垂直平分線的解析式為y=x，
∴m=-m²+3m+4，
∴m=1±$\sqrt{5}$，
∴P（1+$\sqrt{5}$，1+$\sqrt{5}$）或P（1-$\sqrt{5}$，1-$\sqrt{5}$），
②如圖，

設點P（t，-t²+3t+4），
過點P作y軸的平行線l，過點C作l的垂線，
∵點D在直線BC上，
∴D（t，-t+4），
∵PD=-t²+3t+4-（-t+4）=-t²+4t，
BE+CF=4，
∴S_{四邊形PBQC}=2S_△PCB=2（S_△PCD+S_△PBD）=2（$\frac{1}{2}$PD×CF+$\frac{1}{2}$PD×BE）=4PD=-4t²+16t，
∵0＜t＜4，
∴當t=2時，S_{四邊形PBQC最大}=16

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，極值的確定，對稱性，面積的確定，解本題的關鍵是確定出△MBC面積最大時，點P的坐標．