Question

8．【提出問題】如圖①，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于點E，∠BEC=n°，若AD=a，BC=b，則梯形ABCD的面積最大是多少？
【探究過程】小明提出：可以從特殊情況開始探究，如圖②，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，若AD=3，BC=7，則梯形ABCD的面積最大是多少？
如圖③，過點D做DE∥AC交BC的延長線于點E，那么梯形ABCD的面積就等于△DBE的面積，求梯形ABCD的面積最大值就是求△DBE的面積最大值．如果設(shè)AC=x，BD=y，那么S_△DBE=$\frac{1}{2}$xy．
以下是幾位同學的對話：
A同學：因為y=$\sqrt{100-{x}^{2}}$，所以S_△DBE=$\frac{1}{2}$x$\sqrt{100-{x}^{2}}$，求這個函數(shù)的最大值即可．
B同學：我們知道x²+y²=100，借助完全平方公式可求S_△DBE=$\frac{1}{2}$xy的最大值
C同學：△DBE是直角三角形，底BE=10，只要高最大，S_△DBE就最大，我們先將所有滿足BE=10的直角△DBE都找出來，然后在其中尋找高最大的△DBE即可．
（1）請選擇A同學或者B同學的方法，完成解題過程．
（2）請幫C同學在圖③中畫出所有滿足條件的點D，并標出使△DBE面積最大的點D₁．（保留作圖痕跡，可適當說明畫圖過程）
【解決問題】根據(jù)對特殊情況的探究經(jīng)驗，請在圖①中畫出面積最大的梯形ABCD的頂點D₁，并直接寫出梯形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）A同學：化成頂點式，即可得出答案；B同學：根據(jù)完全平方公式變形，再求出最值即可；
（2）過B、D、E三點作圓，作BF的垂直平分線交圓于點D₁，即可得出答案；過B、D、F三點作圓，作BF的垂直平分線即可．

解答 解：（1）選擇A同學：
S_△DBE=$\frac{1}{2}$x$\sqrt{100-{x}^{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{100{x}^{2}-{x}^{4}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{-（{x}^{2}-50）^{2}+2500}$，
當x²=50，即x=5$\sqrt{2}$，S_△DBE取最大值25；
選擇B同學．
方法一：S_△DBE=$\frac{1}{2}$xy=$\frac{1}{4}$×2xy≤$\frac{1}{4}$（x²+y²）=25，
當x=y=5$\sqrt{2}$時，S_△DBE取最大值25；
方法二：S_△DBE=$\frac{1}{2}$xy=$\frac{1}{4}$[（x²+y²）-（x-y）²]=$\frac{1}{4}$[100-（x-y）²]，
當（x-y）²=0，即x=y=5$\sqrt{2}$時，S_△DBE取最大值25；

（2）如圖：
點D₁即為所求的點；
如圖：

如圖2，
設(shè)BF的垂直平分線交⊙O于D₁，M，交BF于N，連接BM、FM，F(xiàn)O，BO，
∵AC∥DF，
∴∠BDF=∠BEC=n°，
則∠BMF=180°-n°，
由圓周角定理得：∠BOF=2∠BMP=360°-2n°，
∵OB=OF，NM⊥BF，
∴BN=FN=$\frac{1}{2}$（a+b），∠BON=$\frac{1}{2}$∠BOF=180°-n°，
在Rt△BNO中，ON=$\frac{BN}{tan（180°-n°）}$=$\frac{\frac{1}{2}（a+b）}{tan（180°-n°）}$，
OD₁=OB=$\frac{BN}{sin（180°-n°）}$=$\frac{\frac{1}{2}（a+b）}{sin（180°-n°）}$，
∴D₁N=D₁O-ON=$\frac{\frac{1}{2}（a+b）}{sin（180°-n°）}$-$\frac{\frac{1}{2}（a+b）}{tan（180°-n°）}$，
∴S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（AD₁+BC）×D₁N
=$\frac{1}{2}$（a+b）[$\frac{\frac{1}{2}（a+b）}{sin（180°-n°）}$-$\frac{\frac{1}{2}（a+b）}{tan（180°-n°）}$]
=$\frac{（a+b）^{2}}{4sinn°tann°}$
S_梯形ABCD最大值為：$\frac{（a+b）^{2}}{4sinn°tann°}$．

點評 本題考查了三角形的外接圓，三角形的面積，完全平方公式，二次函數(shù)的最值，平行四邊形的性質(zhì)和判定，梯形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學生的動手操作能力和理解能力，難度偏大．此類問題是初中數(shù)學的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大．此類問題是初中數(shù)學的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大．