Question

如圖，已知拋物線y=

3

8

x²-

3

4

x-3與x軸的交點(diǎn)為A、D（A在D的右側(cè)），與y軸的交點(diǎn)為C．
（1）直接寫出A、D、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)M在拋物線上，使得△MAD的面積與△CAD的面積相等，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為梯形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）令y=0，解方程

3

8

x²-

3

4

x-3=0可得到A點(diǎn)和D點(diǎn)坐標(biāo)；令x=0，求出y=-3，可確定C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，可知在在x軸下方對(duì)稱軸右側(cè)也存在這樣的一個(gè)點(diǎn)；再根據(jù)三角形的等面積法，在x軸上方，存在兩個(gè)點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)分別到x軸的距離等于點(diǎn)C到x軸的距離；
（3）根據(jù)梯形定義確定點(diǎn)P，如圖所示：①若BC∥AP₁，確定梯形ABCP₁．此時(shí)P₁與D點(diǎn)重合，即可求得點(diǎn)P₁的坐標(biāo)；②若AB∥CP₂，確定梯形ABCP₂．先求出直線CP₂的解析式，再聯(lián)立拋物線與直線解析式求出點(diǎn)P₂的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵y=

3

8

x²-

3

4

x-3，
∴當(dāng)y=0時(shí)，

3

8

x²-

3

4

x-3=0，
解得x₁=-2，x₂=4．
當(dāng)x=0，y=-3．
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3）；

（2）∵y=

3

8

x²-

3

4

x-3，
∴對(duì)稱軸為直線x=

3 4

2× 3 8

=1．
∵AD在x軸上，點(diǎn)M在拋物線上，
∴當(dāng)△MAD的面積與△CAD的面積相等時(shí)，分兩種情況：
①點(diǎn)M在x軸下方時(shí)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，可知點(diǎn)M與點(diǎn)C關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∵C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3），
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-3）；
②點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，根據(jù)三角形的等面積法，可知M點(diǎn)到x軸的距離等于點(diǎn)C到x軸的距離3．
當(dāng)y=3時(shí)，

3

8

x²-

3

4

x-3=3，
解得x₁=1+

17

，x₂=1-

17

，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（1+

17

，3）或（1-

17

，3）．
綜上所述，所求M點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-3）或（1+

17

，3）或（1-

17

，3）；

（3）結(jié)論：存在．
如圖所示，在拋物線上有兩個(gè)點(diǎn)P滿足題意：
①若BC∥AP₁，此時(shí)梯形為ABCP₁．
由點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，可知BC∥x軸，則P₁與D點(diǎn)重合，
∴P₁（-2，0）．
∵P₁A=6，BC=2，
∴P₁A≠BC，
∴四邊形ABCP₁為梯形；
②若AB∥CP₂，此時(shí)梯形為ABCP₂．
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-3），
∴直線AB的解析式為y=

3

2

x-6，
∴可設(shè)直線CP₂的解析式為y=

3

2

x+n，
將C點(diǎn)坐標(biāo)（0，-3）代入，得n=-3，
∴直線CP₂的解析式為y=

3

2

x-3．
∵點(diǎn)P₂在拋物線y=

3

8

x²-

3

4

x-3上，
∴

3

8

x²-

3

4

x-3=

3

2

x-3，
化簡(jiǎn)得：x²-6x=0，
解得x₁=0（舍去），x₂=6，
∴點(diǎn)P₂橫坐標(biāo)為6，代入直線CP₂解析式求得縱坐標(biāo)為6，
∴P₂（6，6）．
∵AB∥CP₂，AB≠CP₂，
∴四邊形ABCP₂為梯形．
綜上所述，在拋物線上存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形為梯形；點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，0）或（6，6）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)求法，三角形的面積，梯形的判定．綜合性較強(qiáng)，有一定難度．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．