Question

2．如圖1，AD是△ABC的中線，∠ADC=45°，把△ADC沿AD所在直線對折，點C落在點E的位置，連接BE，如圖2．
（1）若線段BC=12cm，求線段BE的長度；
（2）在（1）的條件下，若線段AD=8cm，求四邊形AEBD的面積；
（3）若折疊后得到的四邊形AEBD的是平行四邊形，試判斷△ADC的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）只要證明△BDE是等腰直角三角形即可解決問題；
（2）過E作EF⊥AD于F，求出EF，分別求出△BDE，△ADE的面積即可解決問題．
（3）△ADC為等腰直角三角形．只要證明CD=CA，即可解決問題．

解答 解：（1）由題意，得△AED≌△ACD，
∵∠ADC=45°，
∴∠ADE=45°，
∴∠EDB=∠EDC=∠ADC+∠ADE=90°，
∵AD為△ABC的中線，BC=12cm，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=6cm，
∴DE=CD=6cm，
在Rt△BDE中，BE=$\sqrt{B{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$cm．

（2）過E作EF⊥AD于F，

∵∠ADE=45°，
∴△EDF為等腰直角三角形．
∴EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$ED
∵AD=8，
∴S_△AED=$\frac{1}{2}$•AD•EF=$\frac{1}{2}$×8×3$\sqrt{2}$=12$\sqrt{2}$，
S_△BED=$\frac{1}{2}$•BD•ED=18
∴S_{四邊形AEBD}=S_△AED+S_△BED=18+12$\sqrt{2}$（cm²）．  

（3）結論：△ADC為等腰直角三角形．
理由：若四邊形AEBD是平行四邊形，

∴AE∥BD，AE=BD，
∴AC=AE=BD=CD，
∵∠ADC=45°，
∴∠DAC=45°，
∴∠C=90°，
∴△ADC為等腰直角三角形．

點評 本題考查四邊形綜合題、等腰直角三角形的性質、勾股定理、三角形的面積等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，屬于中考常考題型．