Question

10．已知：△ABC是等腰直角三角形，E為斜邊AC上一點(diǎn)，F(xiàn)為CE中點(diǎn)，DE⊥AD，AD⊥AB，如果DE=DA，求證：DF=BF，F(xiàn)D⊥FB．

Answer 1

分析 如圖作CM∥DE交DF的延長(zhǎng)線于M，連接BD、BM，先證明△DFE≌△MFC，再證明△BAD≌△BCM，推出△DBM是等腰直角三角形即可解決問題．

解答 證明：如圖作CM∥DE交DF的延長(zhǎng)線于M，連接BD、BM．

∵CM∥DE，
∴∠CMF=∠FDE，
在△DFE和△MFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CMF=∠FDE}\\{∠CFM=∠EFD}\\{CF=EF}\end{array}\right.$，
∴△DFE≌△MFC，
∴CM=DE，DF=FM，
∵AD=DE，
∴AD=CM，
∵∠MCB=∠ABC=90°，DA⊥AB，
∴∠DAB=∠BCM=90°，
在△ABD和△CBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CM}\\{∠BAD=∠BCM}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△BCM，
∴BD=BM，∠ABD=∠CBM，
∴∠DBM=∠ABC=90°，
∵DF=FM，
∴FB=DF=FM，BF⊥DF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形，屬于中考�？碱}型．