Question

16．已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＜b）的圖象恒不在x軸下方，且m＜$\frac{a+b+c}{b-a}$恒成立．求m的取值范圍．

Answer 1

分析 利用二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷a＞0，b＞0，c＞0，b²-4ac≤0，則c≥$\frac{^{2}}{4a}$，所以$\frac{a+b+c}{b-a}$≥$\frac{a+b+\frac{^{2}}{4a}}{b-a}$=$\frac{（2a+b）^{2}}{4a（b-a）}$，設(shè)b=a+m（m＞0），于是$\frac{a+b+\frac{^{2}}{4a}}{b-a}$可表示為$\frac{（3a+m）^{2}}{4am}$，再利用（3a+m）²≥4•3a•m（當且僅當m=3a時取等號）可得$\frac{a+b+\frac{^{2}}{4a}}{b-a}$≥$\frac{4•3a•m}{4am}$，即$\frac{a+b+\frac{^{2}}{4a}}{b-a}$≥3，于是得到m＜3．

解答 解：根據(jù)題意得a＞0，b＞0，c＞0，b²-4ac≤0，則c≥$\frac{^{2}}{4a}$，
所以$\frac{a+b+c}{b-a}$≥$\frac{a+b+\frac{^{2}}{4a}}{b-a}$，
而$\frac{a+b+\frac{^{2}}{4a}}{b-a}$=$\frac{4{a}^{2}+4ab+^{2}}{4a（b-a）}$=$\frac{（2a+b）^{2}}{4a（b-a）}$，
由題設(shè)得b＞a＞0，設(shè)b=a+m（m＞0），
則$\frac{a+b+\frac{^{2}}{4a}}{b-a}$=$\frac{（3a+m）^{2}}{4am}$，
因為a＞0，m＞0，則（3a+m）²≥4•3a•m（當且僅當m=3a時取等號），
則$\frac{a+b+\frac{^{2}}{4a}}{b-a}$=$\frac{（3a+m）^{2}}{4am}$≥$\frac{4•3a•m}{4am}$，即$\frac{a+b+\frac{^{2}}{4a}}{b-a}$≥3，
而m＜$\frac{a+b+c}{b-a}$，
所以m＜3．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程；對于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．