Question

11．如圖所示，△ABC中，AB=BC，DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點D，交AC于F．
（1）若∠AFD=155°，求∠EDF的度數；
（2）若點F是AC的中點，猜想∠CFD與∠B的數量關系，并證明．

Answer 1

分析 （1）根據已知條件得到∠DFC=25°，根據垂直的定義得到FDC=∠AED=90°，根據周角的定義即可得到結論；
（2）連接BF，根據等腰三角形的性質得到BF⊥AC，∠ABF=∠CBF=$\frac{1}{2}$∠ABC，根據余角的性質得到∠CFD=∠CBF，于是得到結論．

解答 解：（1）∵∠AFD=155°，
∴∠DFC=25°，
∵DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠FDC=∠AED=90°，
在Rt△EDC中，
∴∠C=90°-25°=65°，
∵AB=BC，
∴∠C=∠A=65°，
∴∠EDF=360°-65°-155°-90°=50°；
（2）∠CFD=$\frac{1}{2}$∠ABC，
連接BF，
∵AB=BC，且點F是AC的中點，
∴BF⊥AC，∠ABF=∠CBF=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠CFD+∠BFD=90°，
∠CBF+∠BFD=90°，
∴∠CFD=∠CBF，
∴∠CFD=$\frac{1}{2}$∠ABC．

點評 本題考查了等腰三角形的性質，直角三角形的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．