Question

11．如圖，點(diǎn)P是菱形ABCD的對角線BD上一點(diǎn)，連結(jié)CP并延長，交AD于E，交BA的延長線點(diǎn)F．
（1）△APE與△FPA相似嗎？請說明理由．
（2）若PE=1，EF=2，試求PC的長度．

Answer 1

分析 （1）利用兩組角相等則兩三角形相似來判定即可；
（2）根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例及全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：相似，理由如下：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠ADP=∠CDP．
又∵PD=PD，
∴△APD≌△CPD，
∴∠DAP=∠DCP，
∵CD∥AB，
∴∠DCF=∠DAP=∠CFB，
又∵∠FPA=∠FPA，
∴△APE∽△FPA．
（2）∵△APE∽△FPA，
∴$\frac{AP}{PF}=\frac{PE}{PA}$．
∴PA²=PE•PF．
∵△APD≌△CPD，
∴PA=PC．
∴PC²=PE•PF，
∵PE=1，EF=2，
∴PF=3，
∴PC=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定，菱形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，本題中依據(jù)三角形的全等或相似得出線段的相等或比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵．