Question

6．如圖，正比例函數(shù)y=mx的圖象與雙曲線y=$\frac{k}{x}$相交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2），AC⊥x軸于C，連結(jié)BC．
（1）求正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）求△ABC的面積；
（3）根據(jù)圖象直接寫(xiě)出當(dāng)mx＞$\frac{k}{x}$時(shí)，x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出正比例、反比例函數(shù)的解析式；
（2）由函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可得知：A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O中心對(duì)稱(chēng)，結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)可求出線段OC的長(zhǎng)以及點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論；
（3）觀察函數(shù)圖象，尋找何時(shí)正比例函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方，由此即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）將點(diǎn)A（1，2）代入到正比例函數(shù)y=mx中得：2=m，
∴正比例函數(shù)的解析式為y=2x；
將點(diǎn)A（1，2）代入到反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$中得：2=k，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{2}{x}$．
（2）由函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知：A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O中心對(duì)稱(chēng)，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），AC⊥x軸，
∴OC=1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，-2）．
S_△ABC=$\frac{1}{2}$OC•（y_A-y_B）=$\frac{1}{2}$×1×[2-（-2）]=2．
（3）觀察函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：當(dāng)-1＜x＜0或x＞1時(shí)，正比例函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的上方，
故當(dāng)mx＞$\frac{k}{x}$時(shí)，x的取值范圍為-1＜x＜0或x＞1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）求出點(diǎn)B的坐標(biāo)以及線段OC的長(zhǎng)；（3）觀察函數(shù)圖象．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．