Question

20．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以點A為圓心，AC為半徑，作⊙A，交AB于點D，交CA的延長線于點E，過點E作AB的平行線EF交⊙A于點F，連接AF，BF，DF．
（1）求證：△ABC≌△ABF；
（2）當(dāng)∠CAB等于多少度時，四邊形ADFE為菱形？請給予證明．

Answer 1

分析 （1）首先利用平行線的性質(zhì)得到∠FAB=∠CAB，然后利用SAS證得兩三角形全等即可；
（2）當(dāng)∠CAB=60°時，四邊形ADFE為菱形，根據(jù)∠CAB=60°，得到∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，從而得到EF=AD=AE，利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形進行判斷四邊形ADFE是菱形．

解答 解：（1）證明：∵EF∥AB，
∴∠E=∠CAB，∠EFA=∠FAB，
∵∠E=∠EFA，
∴∠FAB=∠CAB，
在△ABC和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AC}\\{∠FAB=∠CAB}\\{AB=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ABF；

（2）當(dāng)∠CAB=60°時，四邊形ADFE為菱形．
證明：∵∠CAB=60°，
∴∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，
∴EF=AD=AE，
∴四邊形ADFE是菱形．

點評 本題考查了菱形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)及圓周角定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解菱形的判定方法及全等三角形的判定方法，難度不大．